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Historia del Álgebra (Matemáticas)

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Algunos autores importantes en la Historia del Álgebra y su nacimiento y evolución, una de las principales ramas del saber matemático, que considera la cantidad del modo más general posible, sirviéndose para representarlo de las letras del alfabetocomo signos más universales, cuyo objeto del álgebra en su mayor generalidad es encontrar la expresión simbólica de una cantidad o forma ligada a otras en virtud de relaciones conocidas, por medio de los símbolos de todas ellas, podrían ser los siguientes que se citan.

Índice

Algunos datos históricos

Aunque se considera a Louis de Lagrange el padre del álgebra moderna o su origen en los trabajos que hizo Carl Friedrich Gauss a las formas cuadráticas, encontrando el primer covariante que el álgebra reconoce, forma adjunta, el verdadero punto de partida, el trabajo que hizo fijar la atención en esta rama de la ciencia, fue la notable memoria escrita por George Boole[1] publicada en el Journal de Mathematiques de Cambridge (álgebra de Boole), y tambien destacan los trabajos de los siguientes autores:

  • Arthur Cayley, la hizo objeto principal de sus trabajos y publicó notables artículos sobre invariantes y covariantes en el Cambridge and Dublin Mathematical Journal y en el Journal de Crelle[2]
  • Contribuyeron mucho a su desarrollo:
    • Jacobi, que crea los jacobianos[3]
    • Hesse, que formó los Hesianos
    • Silvester, Briochi, Roberts, Joachsnisthal, S.H. Aronhold y Clebesch (notación Clebesch-Aronhold)[4] y otros que demuestran elegantes teoremas
    • Hermite,[5] que presenta aquella notable proposición sobre el determinante de la forma adjunta de las formas cuadráticas de un número cualquiera de indeterminadas, y P. Joubert, que encuentra los invariables alabeados de las formas de 6º grado.
    • Los trabajos de Ruffini[6] y de Fa-di-Bruno,[7] con su teoría sobre las formas binarias (Fórmula Fa-di-Bruno).
  • George Salmon reunió y recopiló estos trabajos y escribió la primera obra de álgebra superior moderna: Leçons d'algebre supérieure, París, 1868 [8].
  • Tambien destacan las obras de:
    • Charles Briot: Leçons d'algèbre.., París, 1863, 2 vols.
    • Hermann Laurent: Traité d'algèbre,.., París, 1879-881, 3 vols.
    • J.A. Serret: Cours d'algèbre supérieure, París, 1885 [9].
  • Otros autores que escribieron tratados de álgebra superior en la segunda mitad del siglo XIX:
    • Heinrich Weber: Traité d'algèbre supérieure, París, 1898, 3 vols.[10]
    • Emile Borel: Introducción al estudio de la teoría de los números y del álgebra superior, París, 1895; Algèbre, París, 1903, 2 vols.[11]
  • El álgebra superior moderna, aparecida en el siglo XIX, cuyo objeto es el estudio de las funciones cuyas relaciones mutuas no cambian, por una sustitución lineal, y que ha creado los discriminantes, los invariantes, los emanentes, las formas canónicas y otros muchos elementos matemáticos, es conocida posteriormente como álgebra abstracta y se ocupa de ciertas estructuras algebraícas, como las siguientes:
  • En 1898 aparece la expresión álgebra universal: A treatise on universal algebra:.., Cambridge, cuyo autor es: A.N. Whitehead.[12], y anteriormente, en 1886 On multiple algebra,.../ J.W. Gibbs, Salem, 1886.[13]
  • En la Teoría de los números, a finales del siglo XIX, destacar:
    • La obra de Peter Gustav Lejeune Dirichlet Vorlesungen über zahlentheorie, Braunschweig, 1863 y otra edición en 1894; reeditada en inglés en 1999, Providence, con suplementos de Richard Dedekind.[14]
    • La obra del español Eulogio Jiménez: Tratado elemental de la teoría de los números, Madrid: Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, 1877[15]
    • La obra de Otto Pund: Algebra, mit einschluss.., Leipzig, G.J. Gosechen, 1899 (álgebra-Teoría de los números))

Antigüedad

Álgebra retórico
  • Aparecen indicios del álgebra en el milenio II aC. en Babilonia y en manuscritos de Egipto[16]
  • India:
    • Mr. Reuben Burrow estudió el desarrollo del álgebra en la India, trabajos que leyó a Dalby en el Royal Military College, quien en 1800 los entregó al mundo científico:
      • A restitution of the geometrical treatise of Apollonius Pergaeus.., Londres, 1779.
      • A proof that the Hindoos had the binomial theorem, 1790.
      • Hints relative to friction in mechanics, 1788.
      • Memorandums concerning an old building in the Hadjipore distric,.., 1790.
    • John Playfair adoptó la opinión de Jean Sylvia Bailly en su Astromía india e intentó probar en su Memoria sobre la astronomía de los Brahmins.., que los principios materiales en que esta basada la astronomía india eran de una gran antigüedad (3000 aC.).
    • En 1813 Edward Strachey publicó la traducción persa de una trabajo de álgebra[17]
    • En 1816 John Taylor dió a la prensa otra traducción del sánscrito de una obra india de Aritmética y de Geometría, Lilawati, de una algebrista oriental llamado Bhaskara Acharya: Lilawati: or A treatise on arithmetic and geometry:.., Bombay: S. Rans, 1816.
    • En 1817 Henry Thomas Colebrooke[18] tradujo del sánscrito Algebra with Arithmetic and mensuration.., Londres, 1817, de Brahmagupta (hay autores más antiguos que éste, especialmente Arya-Bhatta, citado por Ganessa, en que su obra se extendía a la resolución de ecuaciones de 2º grado y a las indeterminadas de las dos primeras órdenes), y es anterior a la cultura material de los árabes:
      • Para Davis, erudito oriental, es una autor del siglo VII
      • Para William Hunter, del año 628[19]
    • El remoto origen en la India de la citada rama del saber humano, álgebra, fue atacado por los siguientes autores:
      • El marqués de Laplace: Précis de l'histoire de l'astronomie, París, 1863.[20]
      • Jean Baptiste Joseph Delambre en Historia de la astronomía en la Edad Media e Historia de la astronomia antigua[21]
Grecia
  • Euclides tuvo el mérito inapreciable de reunir en un cuerpo de doctrina todas las verdades elementales de Geometría, tambien álgebra geométrica, hasta entonces dispersas y de aumentar con otras muchas desarrolladas por él y de ordenarlas todas bajo un método riguroso Los Elementos de Euclides[22]
  • Diofanto de Alejandría dió su célebre tratado de aritmética en 13 libros:
    • Da fundamento a la ciencia algebraica (álgebra sincopada)
    • Resolución de ecuaciones sencillas de 2º grado
    • Análisis de las indeterminadas (soluciones enteras de las ecuaciones indeterminadas) y la teoría de los números se inició del estudio de Diofanto que hizo de estas ecuaciones que llevan su nombre[23]
    • La célebre Hypatia escribió notables comentarios de la obra[24]
    • Destacan los comentarios de Claudio Garpar Bachet, Señor de Meziriac[25]: Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex:..., Lutetiae Parisiorum, H. Drovart, 1621, aumentados con profundas notas por Pierre de Fermat

Edad Media

Introducción

El pueblo árabe organizó el estado del álgebra y tradujo obras del griego e indio:

Autores
  • Mahomed de Buriana o Moses[27] siglo IX ( flor. 813-846), hizo una recopilación de libros en otras épocas y países, en tiempos del califa Almamún[28]
  • Mahomed Albuganea, tradujo obras de Diofanto y comentó escritos, siglo X
  • Behaudin, siglo XI
  • Introductor en Europa del álgebra Leonardo de Pisa, comerciante que por motivos económicos vivió algún tiempo entre los árabes: en la Biblioteca Magliabecchian de Florencia se descubrió a mediados del siglo XVIII un antiguo manuscrito que contenía un tratado de Aritmética y de Álgebra, 1202, que fue corregido en 1228 (Liber Abaci)[29]
  • Raimundo Lulio volvió a traer el estudio de las matemáticas a España y las Universidades españolas se apoderaron de esta ciencia, especialmente la Salamanca, y tras otra época de decadencia en tiempo de Sancho el Bravo, volvió a aparecer con los Reyes Católicos (Pedro Nuñez escribió un libro de álgebra, publicado en 1567).
  • Lucas de Burgo, con la obra Summa arithmetica, geometria,... demuestra el estado del álgebra en el siglo XV y primer libro que se imprimió[30]

Edad Moderna ( Álgebra simbólico )

Introducción

Desde Leonardo de Pisa hasta finales del siglo XV, permaneció esta ciencia completamente estacionaria, aunque muchos profesores explicaban publicamente el álgebra y se escribieron tratados más o menos extensos y se tradujeron del árabe obras como Regla del álgebra y obras como las de Mahomed-ben-Musa, y en el siglo XVI tuvo el álgebra profunda transformación creándose la ciencia simbólica y el citado cambio lo lleva a cabo Vieta, que propuso la representación general de las cantidades por las letras del alfabeto y la desaparición de los anteriores signos, y Girard extendió posteriormente la teoría de la ecuación más alla que Vieta.

Siglo XVI
Introducción

La misión del siglo XVI fue formar, de los dispersos restos que encontró en los tiempos pasados, la ciencia algebraíca posterior.

Autores
  • En la primera mitad del siglo XVI destacan:
    • S. Ferreus (1505), encontró un medio de resolver las ecuaciones de tercer grado, y posteriormente Nicolo Tartaglia perfeccionó los trabajos de Ferreus[31], y un discípulo de éste, Luis Ferrari resolvió ecuaciones de 4º grado.
    • En 1539, el profesor de Milán Girolamo Cardano publica un tratado de aritmética, álgebra y geometría[32]
    • Schembelius
    • Michael Stifelius, con los signos de adición y sustracción y el simbolo de la raíz cuadrada[33]
  • Posteriormente:
    • Robert Recorde, con su obra The whestone of witte:.., 1557, Cambridge, con el signo de igualdad[34]
    • Pedro Nuñez escribe en 1567 un libro de álgebra: Libro de algebra.., Anvers[35]
    • François Viète, entrevió la inmensa ventaja que las matemáticas podían sacar de aplicar el álgebra a la geometría y fue el primero que se sirvió de las letras del alfabeto para expresar las cantidades conocidas[36]:
      • Era un Magistrado a cuyo cargo estaba hacer relación de las peticiones y memoriales que se presentaban en el Consejo del Rey, Francia.
      • Su gran talento le permitió hacer grandes progesos en el álgebra.
      • Halló que las resoluciones siendo propias a un caso particular, se hacian por su método absolutamente generales, porque las letras podían expresar todo género de números.
    • Rafael Bombelli, publicó una notable obra de álgebra, L'algebra,.., Bolonia, 1929:
      • Resolución de las raíces de las ecuaciones de tercer grado en el caso irreducible.
      • Resolución del problema algebraíco, tiene íntima relación con el de la trisección del triángulo.
      • Obra que habla de Bombelli: Belief without proof from ancient geometry to Renaissance../ Federica La Nave, Tesis, Harvard, 2005.
Siglo XVII
Introducción

La misión del siglo XVII fue aplicar a otras partes de las matemáticas el álgebra, grandísimo instrumento de trabajo.

Autores
  • Albert Girard perfeccionó el álgebra, primero que en enseñó el uso del signo negativo en los problemas geométricos y que habló de cantidades imaginarias, y mostró que en ciertas ecuaciones cúbicas o del tercer grado, hay siempre tres raíces, dos positivas y una negativa, o dos negativas y una positiva ( Invention nouvelle en l'algebre, Amsterdam, 1629; reeditada en Leiden, 1884 ).
  • Thomas Harriot perfeccionó las notaciones: Artis analyticae praxis, ad aequationes algebraïcas,.., Londres: R. Baker, 1631[37]
  • Descartes engendra la Geometría Analítica:
    • Antes de la Geometría Analítica, ciencia que tiene por objeto representar las lineas y las superficies por medio de ecuaciones algebraícas, y fija la posición de un punto en un plano o en el espacio, por medio de cierto números de elementos geométricos, que se denominan coordenadas del punto, la aplicación del Álgebra de Geometría, se reducía a buscar entre los datos e incógnitas del problema geométrico, relaciones algebraícas bajo la forma de una ecuación, de la que se sacaba el valor de la incógnita por medio de una formula que despues se traducía en una construcción geométrica más o menos complicada.
    • Gua, Kertner y Leyner demostraron la utilidad del Teorema de Descartes, para salvar la siguiente dificultad: si el número de cambios de signos era menor al de las unidades del grado de la ecuación, el matemático no podía sin gran trabajo resolver las ecuaciones (o del teorema de Rolle[38]).
    • Ideó un método para reducir las ecuaciones de 4º a ecuaciones de 2º, método de las indeterminadas y describió una regla para hallar todas las raíces inconmensurables; y decir tambien lo siguiente:
      • Kepler escribió una obra acerca de los sólidos formados por la resolución de figuras curvilíneas alrededor de ciertos ejes
      • Bonaventura Cavalieri geometría de los indivisibles: Geometria indivisibilus.., Bononiae, 1653[39]
      • John Wallis, aritmética de los infinitos o Arithmetica infinitorum: The arithmetic of infinitesimals:..., New York: Springer, 2004.[40]
      • Cálculo diferencial e integral de Isaac Newton y Gottfried Leibniz[41]
      • Gabriel Cramer restauró el recuerdo de Leibnitz sobre funciones determinantes en su libro sobre curvas algebraícas: Introducción al análisis de líneas curvas algebraicas, 1750[42]
      • Los trabajos del japónes Seki Takakazu, siglo XVII[43]
  • Otros nombres:
  • A destacar posteriormente, siglo XVIII:

Álgebra moderna: Lagrange

Introducción

En la primera mitad del siglo XVIII los estudiosos se dedicaron a arreglar y perfeccionar la obra de sus predecesores, y al terminar esta primera mitad del siglo citado fue Lagrange el encargado de esta nueva evolución en los estudios del álgebra, echando en un tratado de la resolución de las ecuaciones numéricas, los cimientos sobre los cuales levantaron despues sus hermosos trabajos Budan, Furier y Jacques François Sturm:

  • En 1767 y 1768, método seguro para resolver ecuaciones numéricas de grado superior al cuarto
  • Procedimiento completamente científico para hallar las raíces de una ecuación, método que luego dió a la prensa en su obra Traité de la resolution des equations numeriques tous les degres[47]
  • Procuró reducir las grandes teorías del calculo diferencial de Newton al álgebra pura en el estudio de las derivadas (digno de mención los trabajos de L. Euler: Institutiones calculi differentialis..., Petropolitanae, 1755).
Primera mitad del siglo XVIII
  • Jean Le Rond d'Alembert trató de demostrar que la forma general de las raíces de las ecuaciones de un grado cualquiera era la misma que se deducía de las de segundo grado en 1746 en Memorias de Berlín (posteriormente hicieron trabajos Fomenox, Laplace y Cule y lo perfeccionó Laplace)[48]
  • El escocés Colin Maclaurin: A treatise of algebra,.., Londres, 1748 (Serie de Maclaurin)[49]
  • Jacopo Riccati: Opere del conte Jacopo Riccati.., Lucca: J. Giusti, 1761-65, 4 vols. (sobre su obra: Algebraic Riccati equations / P. Lancaster, Oxford, 1995.)

Edad Contemporánea

Introducción

Al empezar el siglo XIX, el álgebra había tomado inmenso desarrollo, y de ella, como del tronco de un robusto árbol, se había desprendido gruesas y numerosas ramas del saber humano, que cada una de ellas constituía por sí una verdadera ciencia con sus principios, con sus obras, con sus sabios:

Siglo XIX ( Álgebra abstracta )

Destacan los estudios y trabajos de la Resolución algebraíca de ecuaciones, Resolución aritmética de ecuaciones, Determinantes, Álgebra Superior Moderna, Teoría de los Números, ect. y algunos autores, los siguientes que se citan:

  • Ferrad
  • Leopold Kronecker y Charles Hermite, resolución de ecuaciones de 5º grado:
    • Obra de Kronecker: De unitabus complexis, 1845.
    • Obra Hermite: Sur la théorie des équations modulaires et la résolution de l'èquation du cinquième degré, París, 1859 y otras obras de Hermite sobre las funciones abelianas, funciones elípticas y reducción de formas cúbicas a diez indeterminadas[50]
  • Budan de Boislaurent publicó Nuevo método para la resolución de las ecuaciones numéricas.., 1822 (Teoría de las Ecuaciones) y la obra del Barón de Fourier Análisis de las ecuaciones determinadas.
  • William George Horner, resolución de ecuaciones numéricas, algoritmo de Horner[51]
  • C.H. Gräffe, métodos sencillos investigación de las raíces de una ecuación: Die Auflosung..., Zúrich, 1837.
  • Carl Friedrich Gauss, con su obra de la teoría de los números Disquisiciones aritméticas (edición más reciente Hildesheim, 2006)[52] y Jacques Philippe Marie Binet, Observaciones sobre los teoremas de geometría, París, 1837 y Barón de Cauchy, Ecuaciones diferenciales ordinarias; Lecciones de las aplicaciones del cálculo infinitesimal a la geometría, aplicaron los descubrimientos de Gauss a estudios geométricos (Cauchy tambien demostró teoría sobre raíces imaginarias), y Carl Gustav Jakob Jacobi en el Journal de Crelle, 1826, perfeccionó más determinadas.
  • James Joseph Silvester eliminó una incognita entre dos ecuaciones de un grado cualquiera: The collected mathematical.., Cambridge, 1904-1912, 4 vols.[53]
  • Truel, Suremain-Missery y Argand estudiaron cantidades imaginarias:
    • En 1806, Jean Robert Argand, indica que las cantidades imaginarias tenían una existencia real y efectiva, consideradas bajo el aspecto geométrico: Imaginary quantities;.., New York, 1881 (Plano de Argand)[54]
  • Otros autores:
Siglo XX
  • E. Steinitz: Algebraische.., Berlín, 1930.
  • G. Loria: Curve piane speciali, algebriche,.., Milán, 1930, 2 vols.
  • D. Hilbert: Théorie des corps des nombres algébriques, París, 1913.
  • Martin C. Olsson: The Shimura-Taniyama conjecture.., tesis doctoral, Harvard, 1997 (geometría algebraíca- Conjetura de Shimura-Taniyama); sobre álgebra geométrica la obra de André Weil: Foundations of algebraic geometry, Providence.[62]
  • Álgebra homológica:
    • H.P. Cartan, célebre por su Teoría de Haces: Homological algebra, Princeton, 1956.[63]
    • S. Mac Lane: Homology, New York, 1963.
    • J. Rotman: An introduction to homological algebra, New York, 1979.
  • Álgebra topológica:
    • F. Hirzebruch: Topological methods in algebraic geometric, Berlín, 1966.
    • M.F. Atiyah y D. Mumford: The topology..., París, 1961.
    • E.C. Zeeman: Seminar on combinatorial topology, 1963, 2 vols.
    • M.J. Greenberg: Lectures on algebraic topology, New York, 1967.
    • J.R. Stallings: Combinatorial group theory and topology, Princeton, 1987.
    • I.M. James: Handbook of algebraic topology, Amsterdam, 1995.
  • Álgebra estructurada:
    • P.S. Novikov: Vysshaia algebra.., Moscú, 1962.
  • H.F. Fehr: Algebra with trigonometry.., Boston, 1963.
  • E. Artin, Teorema de Galois: La Teoría de Galois, Barcelona, 1970; junto a la matemática alemana de origen judío Emmy Noether: Moderne algebra, Berlín, 1937-40, 2 vols.[64]
  • I. Schur: I. Schur methods in operator theory.../ edited by I. Gohberg, Basel, 1986.
  • S. Mac Lane: Algebra, New York, 1988.
  • Álgebra universal[65] y álgebra libre:
    • O. Ore: L'algèbre.., París, 1936.
    • A. Tarski y B. Jónsson: Direct descomposicion of finite algebraic.., Notre Dame, 1947.
    • A. Maltsev: The metamathematics of algebriac systems,.., Amsterdam, 1971.
    • G. Birkhoff: Algebra, New York, 1993.
Siglo XXI
  • S. Lang: Algebra, New York, 2002.
  • F. Lorenz: Algebra, New York, 2008, 2 vols.
  • E.E. Echeverría Rumié: Introducción al álgebra de matrices.., Santa Marta, 2009.
  • G. Fortuny Anguera: Álgebra, Barcelona: U.O. de C., 2010.
  • M. Artin: Algebra, Boston, 2011.
  • J.F. Escamilla Castillo: Introducción al álgebra abstracta, 2011.
  • Edgar E. Enochs: Relative homological algebra, berlín 2011 (álgebra homológica)
  • E. Hernández Rodríguez: Álgebra lineal y geometría, Madrid: Pearson, 2012.
  • Juan Carlos del Valle Sotelo: Álgebra lineal.., Méjico, 2012.

Referencias

Artículos relacionados

Álgebra

Bibliografía

  • Diccionario Enciclopédico Hispano-Americano, Barcelona, 1887-1910.
  • Historia de los progresos del entendimiento humano en las ciencias exactas../ A. Saverien, Madrid: A. Sancha, 1775.

Bibliografía complementaria

  • Álgebra / L.S. Postriaguin, Moscú, 2008.
  • Álgebra lineal y geometría / E. Hernández Rodríguez, Madrid, 2012.
  • Apunts d'àlgebra computacional / A. Montes, Barcelona, 2006.
  • Del álgebra clásica al álgebra moderna:../ I. Depman, Moscú, 2008.
  • Álgebra superior / M.R. Spiegel, Méjico, 2007.
  • An introduction to the history of algebra,../ J. Sesiano, Providence, 2009.
  • Classical algebra:../ R. Cooke, Hoboken, 2008.
  • El nacimiento del álgebra / M.A. Catalá, Madrid, 1981.
  • Historia de las matemáticas / J.P. Collete, Madrid, 2006, 2 vols.
  • Historia universal de las cifras:../ G. Ifrah;.., Madrid, 2008.
  • Histoire philosophique de l'algèbre moderne:../ B. Timmermans, París, 2012.
  • History of the theory of numbers / L.E. Dickson, New York, 1952, 3 vols.
  • La Génesis del álgebra simbólica / J. Paradís, Barcelona, 1989.
  • Métodos computacionales en álgebra:../ J.F. Ruiz Ruiz, Jaén, 2008.
  • 100 enígmas del álgebra y aritmética / Marie Berrondo-Agrell, Barcelona, 2008.
  • The Chinese roots of linear algebra / R. Hart, Baltimore, 2011.
  • Una Historia de las matemáticas para jóvenes: la historia de las ecuaciones / R. Moreno Castillo, Tres Cantos, 2010.
  • Unkown quantity: a real and imaginary history of algebra / J. Derbyshire, Washingthon, 2006.

Notas

  1. ↑ George Boole: filosofia, logica, matematica / E. Agazzi, Milán, 1998
  2. ↑ The collected mathematical papers of Arthur Cayley, Cambridge, The university Press, 1888-97, 13 vols.; sobre Cayley: Expander families and Cayley graphs:../ M. Krebs, Oxford, 2011. ;The mathematics of Arthur Cayley../ A.J. Crilly, Tesis doctoral, Middl. Polyt., 1981 ;Spinors, Clifford and Cayley algebras / R. Hermann, 1974
  3. ↑ Carl Gustav Jacob Jacobi../ Leo Koenigsberger, Leipzig, 1904
  4. ↑ Die reine mathematik.../ E. Lampe, Berlín, 1899
  5. ↑ Sharl´ Ermit, 1822-1901 / E.P. Ozhigova, Leningrado, 1982
  6. ↑ Paolo Ruffini / G. Barbensi, Modena, 1956
  7. ↑ Francesco Faà di Bruno../ P. Palazzini, Roma, 1980, 2 vols.
  8. ↑ otras obras: A treatise on the analytic geometry of three dimensions, Londres, 1915, 2 vols. ;A Treatise a conic sections.., Londres, 1911; Traité de géométrie analytique.., París, 1903
  9. ↑ otras obras: Traite de trigonometrie, París, 1916; Cours de calcul différentiel et intégral, París, 1894, 2 vols
  10. ↑ Lehrbuch der algebra,../ R. Fricke, 1924-1928, 3 vols.
  11. ↑ Emil Borel, 1871-1956 / E.M. Polischuk, Leningrado, 1980
  12. ↑ Segni del cosmo: logica e geometria in Whitehead / L. Gaeta, Milán, 2002; A. N. Whitehead and social theory:../ M. Halewood, Londres, 2011
  13. ↑ On the Gibbs adsorption equation../ G.B. McFadden, 2001
  14. ↑ La notion de nombre chez Dedekind, Cantor, Frege.../ J.P. Belna, París: J. Vrin, 1996
  15. ↑ Traductor de la obra de R. Baltzer: Elementos de matemáticas, junto a Manuel Melero, Madrid, 1880-1881, varios vols.
  16. ↑ Alguna obra sobre la Antigüedad: A History of mathematics / Florian Cajori, New York, 1980 (reeditada en 1999, Providence)
  17. ↑ Bombay to Bloomsbury.../ Barbara Caine, Oxford, 2005
  18. ↑ The making of western indology: Henry Thomas Colebrooke../ R. Rocher, Milton Park, 2012
  19. ↑ William Hunter.../ L. J. F. Keppie, Edimburgo, 2007
  20. ↑ Pierre Simon Laplace, 1749-1827..../ Ch. G. Gillispie, Princeton, 1997
  21. ↑ Autor tambien de Sciences mathématiques, París, 1989
  22. ↑ Los Elementos de Euclides.../ F. Enriques, Madrid, 1954
  23. ↑ Travelling mathematics: the fate of Diophantos´ arithmetic / Ad Meskens, Basel, 2010
  24. ↑ Bajo la estirpe de Hypatia:..../ O. Menéndez, Madrid, 2009. ;Hypatia of Alexandria: mathematician and martyr / M.A.B. Deakin, Amherst, 2007
  25. ↑ Claude-Gaspard Bachet.../ René Pocard du Cosquer de Kerviler, París, 1880
  26. ↑ Léxico de términos árabes-español: astronomía-matemáticas / Aurora Cano, Madrid: U. A. de M, 1991
  27. ↑ The book on arithmetic by Muhammad Ibn Musa../ F. Sezgin, Frankfurt and Main, 2006
  28. ↑ The Caliph and the Bishop:.../ W. Nasry, Beyruth, 2008; Al-Ma'mun / M. Cooperson, Oxford, 2005
  29. ↑ Scritti di Leonardo Pisano../ B. Boncompagni, Roma, 1857, 2 vols; Recherches sur plusieurs ouvrages de Léonard de Pise../ E. Lucas, Roma. Imprenta de Ciencias matemáticas y físicas, 1877
  30. ↑ I giochi matematici di fra'Luca Pacioli:../ D. Bressanini, Bari, 2011; Luca Pacioli e la matematizzazione del sapere nel Risnacimento / A. Ciocci, Bari, 2003
  31. ↑ La lingua di Nicolo Tartaglia:../ M. Piotti, Milán: LED, 1998
  32. ↑ La formula segreta: Tartaglia, Cardano,../ F. Toscano, Milán: Sironi, 2009
  33. ↑ Michael Stifel.../ J.E. Hofmann, Wiesbaden, 1968
  34. ↑ Robert Recorde's mathematical../ F.R. Johnnson, Cambridge, 1935
  35. ↑ Pedro Nunes (1502-1578): his lost algebra.../ John R.C. Martin, New York, 1996
  36. ↑ François Viète:../ E. Bardin, París, 2005
  37. ↑ The greate invention of algebra: Thomas Harriot's.../ J.A. Stedall, Oxford, 2003
  38. ↑ Este teorema del francés Michael Rolle, prueba la curva de Laffer
  39. ↑ Della vita e delle opere di Bonaventura Cavalieri../ F. Predari, Milán, siglo XIX.
  40. ↑ The mathematical work of John Wallis../ J.F. Scott, New York, 1981
  41. ↑ La Polémica sobre la invención del cálculo infinitesimal:../ Antonio J. Durán, Barcelona: Crítica, 2006
  42. ↑ Gabriel Cramer: illustre mathématicien 1704-1752 / I. Benguigui, Génova, 1998
  43. ↑ Japanese mathematics in the Edo period.../ A. Horiuchi, Basel, 2010
  44. ↑ Before Newton: the life and times of Isaac Barrow / M. Feingold, Cambridge, 1990
  45. ↑ Roger Cotes,../ R. Gowing, Cambridge, 1983
  46. ↑ Los Bernoulli: geométras y viajeros / C. Sánchez Fernández, Madrid: Nivola, 2001
  47. ↑ Lagrange: la elegancia matemática / V. Pardo Rego, Tres Cantos: Nivola, 2003
  48. ↑ D'Alembert: vida, pensamiento y obra / Toni Montesinos Gilbert, 2008; D'Alembert, ou, La raison physico-mathématique../ M. Paty, París, 1998
  49. ↑ Colin Maclaurin ou l'obstination mathématicienne../ O. Bruneau, Nnacy, 2011
  50. ↑ Charles Hermite (1822-1901):.../ Camille Jordan, París, 1901; Sharl' Ermit,../ E.P. Ozhigova, Leningardo, 1982
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  52. ↑ The prince of mathematics: Carl Friedrich Gauss / M.B.W. Tent, Wellesley, 2006
  53. ↑ Otra obra: La Forma del pensamiento matemático, Barcelona: Grijalbo, 1974; sobre Sylvester: James Joseph Sylvester: life and works in letters / K.H. Parshall, Oxford, 1998
  54. ↑ Potential theory in the complex plane / T. Ransford, Cambridge, 1995
  55. ↑ Niels Henrik Abel, mathematician extraordinary / O. Ore, New York, 1974
  56. ↑ Riemann:../ R. Tazzioli, París, 2010
  57. ↑ Hermann Günter Grassmann (1809-1877): visionary mathematician,../ G. Schubring, Boston, 1997
  58. ↑ V. Puiseux's Untersuchungen über die algebraischen../ H. Fischer, Halle, 1861 (algebráica funciones)
  59. ↑ Joseph Liouville, 1809-1882,.../ J. Lützen, New York, 1990
  60. ↑ Sobre Poinsot: Abhandlungen über die regelmässige..Abhandlungen von L. Poinsot (1809).../ R.K.H. Haussner, Leipzig, 1909.
  61. ↑ Sobre Kummer: Interpreting the ideal:../ F. Bordogna, Berlín, 1996
  62. ↑ Sobre Weil: Correspondance entre Henri Cartan et Andrè Weil../ M. Audin, París, 2011
  63. ↑ Sobre su Teoría: Sheaf theory / G.E. Bredon, New York, 1997
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  65. ↑ Universal algebra / E. Fried;.., Amsterdam, 1982
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