Espacio euclídeo

Un espacio euclídeo es un espacio vectorial normado de dimensión finita en que la norma es heredada de un producto escalar.

El espacio euclídeo es el espacio matemático n-dimensional usual , una generalización de los espacios de 2 y 3 dimensiones estudiados por Euclides. Formalmente, para cada número entero no negativo n, el espacio euclídeo n-dimensional es el conjunto

$\mathbb{R}^n$

junto con la función distancia obtenida mediante la siguiente definición de distancia entre dos puntos (x₁, ..., x_n) e (y₁, ...,y_n): la raíz cuadrada de Σ (x_i-y_i)², donde la suma es sobre i = 1, ..., n.

Esta función distancia está basada en el teorema de Pitágoras y es llamada métrica euclídea.

El término "espacio euclídeo n-dimensional" es usualmente abreviado a "n-espacio euclídeo", o sólo "n-espacio". El n-espacio euclídeo se denota por E ⁿ, aunque ℝⁿ es bastante usado (sobreentendiendo la métrica). E ² se dice el plano euclídeo.

Por definición, E ⁿ es un espacio métrico, y es por tanto también un espacio topológico; es el ejemplo prototípico de una n-variedad, y es de hecho una n-variedad diferenciable. Para n ≠ 4, cualquier n-variedad diferenciable que sea homeomorfa a E ⁿ es también difeomorfa a ella. El hecho sorprendente es que esto no es cierto también para n = 4, lo que fue probado por Simon Donaldson en el año 1982; los contraejemplos se llaman 4-espacios exóticos (o falsos).

Se puede decir mucho sobre la espacio topológico de E ⁿ. Un resultado importante, el invariancia del dominio de Brouwer, es el de que cualquier subconjunto de E ⁿ que sea homeomorfo a un subconjunto abierto de E ⁿ es en sí mismo abierto. Como consecuencia inmediata de esto se tiene que E ^m no es homeomorfo a E ⁿ si m ≠ n -- un resultado intuitivamente "obvio" que sin embargo no es fácil de demostrar.

El n-espacio euclídeo se puede considerar también como un Espacio vectorial n-dimensional real , de hecho un Espacio de Hilbert, de manera natural. El producto escalar, de x = (x₁,...,x_n) e y = (y₁,...,y_n) está dado por

$\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n$

Este artículo es, por ahora, sólo un esbozo. Ampliándolo ayudarás a mejorar la Enciclopedia Libre.
Para ello escribe aquí.

El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Wikipedia, publicada con licencia CC-BY-SA 3.0.