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Determinante

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Se puede hablar del determinante de una matriz cuadrada, de una aplicación lineal (endomorfismo en dimensión finita) o de n vectores de un espacio de dimensión n. Todos estos dominios están relacionados. Lo lógico es empezar por la teoría, hablando de función sobre los vectores, y seguir por la práctica, el cálculo efectivo de determinantes.

Definición

Sea K un cuerpo (en general, K = R o K = C ) y E un espacio vectorial sobre K, de dimensión finita n.
Una forma de En es una aplicación lineal de En hacia K. Como E es isomorfo a Kn, esta aplicación se puede escribir así:

E × E × ... E → K
(v1, v2,... vn) → f(v1, v2, ... vn)

Una aplicación de En es n-lineal si es lineal con relación a todos sus argumentos, es decir, si se hace variar un solo argumento, fijando los demás, la función varía de forma lineal.
Por ejemplo, la linealidad para con el vector número i se expresa mediante esta fórmula:

f(v1, ... λ·ui + μ·wi , ... vn) = λ·f(v1, ... ui, ... vn) + μ·f(v1, ... wi , ... vn).

Una aplicación de En es alterna si es nula cada vez que hay dos argumentos iguales.
Por ejemplo, si con n = 3; f(u, v, u) = 0 porque el primer y el tercer vector son iguales.

Sea (e1, e2 ... en) la base canónica de E ≈ Kn.

Aquí hemos la definición exacta del determinante:

El determinante de E ( relativo a la base (e1, e2 ... en) ) es la única forma n-linear de En, alterna, y que toma el valor 1 en la base, es decir tal que f(e1, e2 ... en) = 1.

Dos ejemplos

El caso n = 1 carece totalmente de interés, veamos los casos n = 2 y lueg n = 3.

Una observación preliminar: una aplicación alterna es también antisimétrica.
En efecto, con n = 2 por ejemplo:

f( v + w, v + w) = o por ser f alterna, luego si se desarolla el miembro izquierdo, se obtiene:
f( v + w, v + w) = f(u, u) + f(u, v) + f(v, u) + f(v,v) = 0 + f(u, v) + f(v, u) + 0.

Igualando los dos resultados se concluye que f(v, u) = - f(u,v), lo que es la antisimetría.

En la base (e1, e2) de E, sea u = a·e1 + b·e2 y v = c·e1 + d·e2 dos vectores cualesquiera. De aquí en adelante, se notará det el determinante.

det(u, v) = det(a·e1 + b·e2, c·e1 + d·e2) = c·det(a·e1 + b·e2, e1) + d·det(a·e1 + b·e2, e2)
linealidad a la derecha es decir con relación al segundo argumento
= c·a·det(e1, e1) + c·b·det(e2, e1) + d·a·det(e1, e2) + d·b·det(e2, e2)
linealidad a la izquierda
= c·a·0 + c·b·(-1) + d·a·1 + d·b·0 = ad - bc
la forma alterna anula det(e1 , e1) y det(e2 , e2), y la antisimetría hace que det(e2 , e1) = - det(e1 , e2) = -1
por definición, det(e1 , e2) = 1

Si se disponen los vectores en columna, se constituye una matriz cuyo determinante se calcula por la regla de los productos cruzados:

Determinante 2.png

Se procede de la misma manera en el caso n = 3; sin embargo, para eludir cálculos más largos, es preferible reflexionar antes de echarse a llenar hojas.
Se toma tres vectores, u,v y w, y se les descomponen en la base (e1, e2, e3).
Al desarrollar el determinante, se tendrá que descartar todos los casos en que aparezcan varias veces el mismo vector. Quedarán pues sólo términos donde aparecen una vez los tres vectores de las base, mas en un orden cualquiera. Se dice que hay una permutación de e1, e2 y e3.
Por ejemplo: det(e3,e1,e2) = - det(e1,e3,e2) = det(e1,e2,e3) = 1, aplicando la antisimetría dos veces.
Al pasar del primer miembro al último, se ha multiplicado dos veces por -1, o sea una vez por (-1)2.
Este último factor es la signatura (o signo) de la permutación que envía (e1, e2,e3) en (e3, e1, e2).
El conjunto de las permutaciones (de tres elementos) se llama el grupo simétrico (de orden 3), S3. S3 tiene tres permutaciones pares, es decir, de signatura 1, y tres impares, de signatura -1. Se nota ε(σ) o sgn(σ) la signatura de la permutación σ.
Con todos estos datos, se puede hallar el determinante de orden 3: El método de Sarrus consiste en escribir los tres vectores en columna y repetir las dos primeras líneas por debajo de la matriz; las permutaciones pares corresponden a las diagonales descendentes mientras que las impares corresponden a las ascendentes. Sobre cada diagonal se multiplican los números, y se suman o restan los productos.

Determinante 3 por Sarrus.png

Fórmula general

El raciocinio detallado del caso n = 3 permite la generalización. Sea un valor cualquiera de n, y los vectores:

Y sea A la matriz cuyas columnas son los vectores v1, ... vn

Excepto en casos sencillos, esta fórmula no resulta muy práctica a causa del número excesivo de permutaciones. Afortunadamente, existe una manera de desarrollar el determinante según una columna o una línea:

Es la fórmula de Laplace.

Propiedades

La propiedad algebraica fundamental del determinante es la siguiente:

det(AB) = det(A)·det(B)

en términos de aplicaciones lineales, se escribe así:

det(uºv) = det(u)·det(v)

Interés

Una matriz o una aplicación lineal es inversible si y sólo si su determinante no es nulo (en un cuerpo).


Autor: M.Romero Schmidtke