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Vectores independientes

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Se dice que dos vectores $\vec u \mbox{ y } \vec v$ de un mismo espacio vectorial son independientes si no son proporcionales, es decir si uno de ellos no es un múltiplo del otro: para cualquier escalar k, tenemos: $\vec u \ne k \cdot \vec v \mbox{ y } \vec v \ne k \cdot \vec u$ y . Es equivalente decir que el sistema $\left ( \vec u , \vec v \right )$ compuesto por los dos vectores es libre. Geométricamente, dos vectores son independientes si no tienen la misma dirección (con sentidos idénticos u opuestos). Esta definición supone que el vector nulo tiene todas las direcciones.

Tres vectores son independientes si y sólo si no están contenidos en el mismo plano vectorial, o sea si ninguno de ellos es una combinación lineal de los otros dos (en cuyo caso estaría contenido en el plano generado por estos vectores).

Esta noción se generaliza a un número cualquiera de vectores: n vectores son independientes si ninguno de ellos es una combinación lineal de los demás, o, de manera equivalente, si no existe una combinación lineal no nula de los vectores cuyo resultado es el vector nulo:

$formalmente: \ \ \ \left ( a_1 \vec v_1 + a_2 \vec v_2 + ... + a_n \vec v_n = \vec 0 \right ) \Longrightarrow \left (a_1 = a_2 = ... = a_n = 0 \right )$ (fórmula f)

El espacio generado por un sistema de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores. Es un espacio vectorial. El espacio generado por un vector no nulo es la recta vectorial dirigida por este vector. El espacio generado por dos vectores independientes es el plano que los contiene. Resulta fácil comprobar que el espacio generado por un sistema de vectores es el menor (por la inclusión) espacio vectorial que los contiene a todos. Se le denomina vect A, donde A es el sistema de vectores. Si n vectores son independientes, el espacio generado es de dimensión n (dimensión en el sentido usual: 0 para un punto, 1 para una recta, 2 para un plano ...)

Por ejemplo, en el espacio tridimensional usual:

$\vec u \ , \vec j$ son dependientes por tener la misma dirección (y sentidos opuestos).
$\vec u \ , \vec v$ son independientes y definen el plano P.
$\vec u \ , \vec j \ , \ \vec w$ son dependientes por estar lso tres contenidos en el mismo plano.
$\vec u \ , \vec v \ , \ \vec k$ son independientes por serlo $\vec u \ , \vec v$ entre sí y no ser $\vec k$ una combinación lineal de ellos o, lo que es lo mismo, por no pertenecer al plano P. Los tres vectores definen el espacio tridimensional.
Los vectores $\vec o$ (vector nulo, cuyas componentes son iguales a cero) y $\vec k$ son dependientes ya que $\vec o = 0 \cdot \vec k$

Ejemplo del uso de la fórmula f:

¿Son los tres vectores siguientes independientes?

$\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \quad \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$

Buscamos tres valores x, y y z que satisfagan la ecuación:

$x \vec{u} + y \vec{v} + z \vec{w} = x \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Lo que equivale al sistema de ecuaciones siguiente:

$\left . \begin{matrix} 2x & + & y & + & z & = & 0 \\ & & 3y & + & 2z & = & 0 \\ & & & & 4z & = & 0 \end{matrix} \right \} \Longleftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x=0 \\ y=0 \\ z=0 \end{matrix} \right .$