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Vectores colineales

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Vectores colineales 1.png

En geometría se dice que dos vectores son colineales cuando tienen la misma dirección, es decir que son vectores directores de rectas paralelas.
En la figura a la derecha, los vectores y son colineales pues las rectas D, D' y D" son paralelas.
Si se trasladan (por un movimiento de translación) los vectores (En matemáticas los vectores son libres es decir que no tienen origen fijo, como sucede en física cuando representan fuerzas que se aplican en un punto preciso) y se les dibuja a partir del mismo origen (O en la figura) entonces se obtienen tres vectores en una misma línea (D en la figura), lo que da la etimología de la palabra: co + lineal.
El vector nulo tiene un papel particular, pues es colineal con cualquier otro vector del plano, lo que se justifica intuitivamente por su representación como punto, que cabe en toda recta, mientras que los vectores no nulos sólo caben en rectas que tienen la misma dirección que el vector. De hecho, el vector nulo no tiene dirección propia.
Otra definición alternativa es la siguiente, que utiliza el producto de un número por un vector: dos vectores son colineales si uno es múltiplo del otro: existe un real k tal que .

Vectores colineales 3.png

En un sistemas de coordenadas, cada vector es caracterizado por sus coordenadas (dos en el plano, tres en el espacio usual, y n en el espacio vectorial de dimensión n), y la colinealidad se expresa a través de ellas:

Por lo tanto dos vectores son colineales si sus coordenadas son proporcionales.
En la figura a la izquierda, los vectores y lo son porque la tabla es proporcional: . Este cálculo, la igualdad de los productos cruzados, es un caso particular de la teoría del determinante, que se generaliza a cualquier dimensión.
De hecho se verifica facilmente que . El vector no es, aunque lo parezca, colineal con ni por consiguiente con porque el cálculo del determinante da esta vez

En tres dimensiones, la verificación de la colinealidad se hace con tres productos cruzados y sigue relacionado con la proporcionalidad de las coordenadas, sin embargo se puede interpretar también gracias al producto vectorial. La generalización más natural de la colinealidad es el caracter coplanar de tres vectores.


Autor: M.Romero Schmidtke