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Variable aleatoria

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En el dominio de las probabilidades, una variable aleatoria se define como el resultado numérico de un experimento aleatorio. Es una aplicación

$X:\Omega\to\mathbb{R}$

que da un valor numérico a cada suceso en el espacio

Ω

(llamado universo del experimento) de los resultados posibles.

Se distinguen entre variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas.

En el caso continuo, X puede tomar todos los valores de un determinado intervalo de

$\mathbb{R}$

, es decir que su codominio es (o por lo menos contiene) un intervalo, mientras que en el caso discreto es el contrario: el codominio está compuesto de valores aislados (tipicamente de valores enteros).

Ejemplo:

Se echan dos dados (no falsos) y se considera la suma de los valores que dan los dados. El universo Ω contiene todos los resultados posibles del experimento, es decir todos los pares de caras:
Ω = { (1,1), (1,2), (1,3) ... (1,6), (2,1), ... (2,6), (3,1) ... (6,5), (6,6) } = A × A = A², donde A = {1;2;3;4;5;6} es el universo correspondiente a un dado.

Como aplicación, X se presenta así:

$\begin{matrix}X: & \Omega & \to & \mathbb{R} \\ & (a,b) & \mapsto & a+b \end{matrix}$

Por ejemplo X(5,3) = 8. Los valores posibles de X son 2, 3, 4 ... 12, por lo que X es una variable discreta.
Se admite la escritura siguiente: "X = n" para designar el subconjunto de Ω donde X toma el valor n. "X = 2" es {(1,1)}, y "X = 7" es {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}. La escritura correcta sería X^-1({n}).

Su distribución de probabilidad no es uniforme (constante) porque p(X=2) = $1 \over 36$ mientras que p(X=7) = $\frac 6 {36} = \frac 1 6$

El valor esperado de X, denotado E(X), corresponde al promedio ponderado de los valores de X por sus probabilidades: $E(X) = \sum_{i=1}^{i=n} p_i x_i$ , donde n es el número de valores posibles de X, x_i son estos valores y p_i sus probabilidades. En el ejemplo anterior, E(X) = 7 porque en promedio cada dado da como valor 3,5.