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Valor absoluto

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El valor absoluto de un número real es su valor despues de quitarle su eventual signo negativo. Si el número es positivo, su valor absoluto es él mismo; mientras que si es negativo, el valor absoluto es el número opuesto.

Se nota |x| el valor absoluto de x; En las calculadores y los ordenadores se utilizan las letras abs.

Por ejemplo: | - 4,5 | = 4,5 (se quita su signo negativo) y | 3,14 | = 3,14 (no se modifica).

Visto como función, el valor absoluto se define distinguiendo según el signo del número:

 abs(x) = |x| = \left\{ \begin{matrix}
- x & \mbox{ si } x \le 0 \\
\mbox{  } & \\
x &  \mbox{ si } x \ge 0 
\end{matrix} \right.

Su representación gráfica coincide con la diagonal  y = - x  cuando x es negativo, y con la diagonal  y = x  cuando es positivo (ver figura).

En la enseñanza existen varias maneras de definir este concepto sencillo, dependiendo de la edad de los alumnos.
El momento idóneo es cuando se acaba de aprender los números negativos (los alumnos tienen diez años aproximadamente). La notación en este punto del cursus suele ser así: (+7) para 7 y (-5) para -5, es decir que todos los números llevan un signo y se escriben entre paréntesis.

Valor absoluto 2.png

Resulta muy intuitivo presentar el valor absoluto como el número sin su signo. De hecho, se puede "descomponer" cada número en su signo y su valor absoluto:

El principal interés inmediato es la facilidad con la que se puede explicar la suma y el producto de dos números relativos:

La suma de dos números de mismo signo es otro de mismo signo que se obtiene sumando sus valores absolutos.
La suma de dos números de signos opuestos tiene el signo del número de mayor valor absoluto, y su valor absoluto es la diferencia (positiva) de los valores absolutos.
El producto de dos números se obtiene multiplicando los valores absolutos y aplicando la regla de los signos ( - por - da + etc.)

Luego, cuando están ya familiarizados con el tema, se identifican los números positivos con los naturales, es decir que se quitan el signo positivo y los paréntesis: (+5) vuelve a escribirse 5, y (-7) se escribe -7, pues (+5) + (-7) y (+5) - (+7) dan el mismo resultado, que se conviene escribir 5 - 7; y la noción de valor absoluto ya no tiene la misma visibilidad.

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La necesidad de hablar de nuevo de valor absoluto surge cuando se toca el tema de las distancias entre puntos en una recta graduada (para alumnos de 15 años aproximadamente). Esto se hace considerando sus abscisas y observando que el valor absoluto de un número cualquiera es naturalmente la distancia entre el punto correspondiente y el origen: d (0, x) = |x|

Valor absoluto 4.png

Luego se calcula la distancia entre dos puntos cualesquieran de la recta así:
 \begin{matrix} AB = || \vec {AB} || = || (x_B - x_A) \vec i ||  \\ = |x_B - x_A|\cdot || \vec i || = |x_B - x_A| \end{matrix} (ejemplos en la figura).



La distancia luego el valor absoluto permite caracterizar los intervalos abiertos y cerrados:

x \in [a; b] \Longleftrightarrow |x - c| \le r
donde
c = \frac {a+b} 2
es el centro de intervalo y
r = \frac {b-a} 2
es su radio. Del mismo modo:
x \in ]a; b[ \Longleftrightarrow |x - c| < r
.
Valor absoluto e intervalo.png

Es decir que un intervalo es el conjunto de los puntos cuya distancia al centro del mismo es inferior (o igual) a su radio (ejemplos en la figura).


Para los estudiantes en ingenería, el valor absoluto se invita de nuevo en los espacios vectoriales y los espacios euclídeos, que poseen ambos normas vinculadas con el valor absoluto.

En un espacio vectorial, la norma de un vector (su longitud en el caso más común) verifica siempre la propiedad
|| \lambda \cdot \vec u || = |\lambda| \cdot || \vec u||
, donde λ es un escalar (un número real en general).
En particular los espacios euclídeos poseen varias normas, entre ellas una llamada euclídea definida por
||\vec x || = \sqrt {x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}
donde n es la dimensión. Por ejemplo módulo de los números complejos es definido por
|x + yi| = \sqrt {x^2 + y^2}
, y para los complejos reales, es decir con parte imaginaria nula, el módulo coincide con el valor absoluto.
Para n = 1 se obtiene
||\vec x || = \sqrt {x_1^2} = |x_1|
, pues el valor absoluto es la raíz cuadrada del cuadrado:
|x| = \sqrt {x^2}

Propiedades elementales:

  • |-a|= |a| \  (paridad de la función valor absoluto)
  •  |a \cdot b | = |a| \cdot |b|
  •  \left | \frac a b \right |  =  \frac {|a|} { |b|}
  • | |a| - |b| | \le | a + b| \le |a| + |b| (desigualdades triangulares)
  • |a^n| = |a|^n


Autor: M.Romero Schmidtke