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Trigonometría

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La trigonometría es la parte de las matemáticas que estudia los elementos de los triángulos, particularmente las relaciones entre sus lados y ángulos.

Funciones seno y coseno

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo y lo usaremos para definir las funciones seno y coseno.

Triangulo.png

En un triángulo rectángulo, el seno (abreviado como sen o sin) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, y el coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente (o contiguo) y la hipotenusa.

Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan:

senα = cosβ = |BC| / |AB| = |OB| / 1 = |BC| = a
cosα = senβ = |AC| / |AB| = |AB| / 1 = |AC| = b

A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

ángulo sen cos
0 1
30° \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2}
45° \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2}
60° \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{2}
90° 1 0

Como en el triángulo rectángulo se cumple que a² + b² = c², de la figura anterior se tiene que senα = a, cosα = b, c=1; entonces:

(sen α)² + (cos α)² = 1

igualdad que se verifica para cualquier ángulo.


Algunas identidades trigonometricas importantes son:

sen (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sen α
sen (180° - α) = sen α
cos (180° - α) = -cos α
sen 2α = 2 senα cosα
sen (α + β) = senα cosβ + cosα senβ
cos (α + β) = cosα cosβ - senα senβ

Función tangente

En un triángulo rectángulo, la tangente (abreviada como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

\tan \alpha = \frac{BC}{AC} = \frac{\mbox{sen} \alpha}{\cos \alpha}

El valor de la tangente para algunos ángulos importantes es:

tan0 = 0
\tan \frac{\pi}{2} = \tan 90^\circ = + \infty
\tan \frac{-\pi}{2} = \tan -90^\circ = - \infty
\tan \frac{\pi}{4} = \tan 45^\circ = 1
\tan \frac{\pi}{3} = \tan 60^\circ = \sqrt{3}
\tan \frac{\pi}{6} = \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}
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