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Triángulos semejantes

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Dos triángulos son semejantes si existe una semejanza (o similitud) entre ambos. Una semejanza es una composición de una isometría (o sea, una rotación seguida (quizás) de una reflexión o simetría axial) con una homotecia. Puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no altera su forma.

Por lo tanto dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma.

En el caso del triángulo la forma sólo depende de sus ángulos, no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo, donde los ángulos son todos rectos pero cuya forma puede ser más o menos alargada es decir que depende de su esbeltez (cociente longitud / anchura).

Se puede simplificar así la definición:

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos.
En la figura, los ángulos correspondientes son
. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente.

Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas la longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes:

Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son iguales.

Se reúnen estas dos propiedades equivalentes en la fórmula siguiente:


configuración de Tales

Un caso particular es el que se da en el teorema de Tales donde los triángulos tienen dos lados (vistos como rectas) comunes: (OA) = (OA') y (OB) = (OB'), y los dos lados restantes son paralelos entre sí: (AB) // (A'B').

Los lados son así paralelos dos a dos y, por lo tanto, definen ángulos iguales (del mismo color en la figura). Por ello, los triángulos OAB y OA'B' son semejantes (de hecho son homotéticos), lo que implica la igualdad de los cocientes:

Otro teorema famoso de la geometría, el teorema de Pitágoras, es también una consecuencia inmediata de la doble caracterización de los triángulos semejantes.

triángulos_semejantes_sobre variedad

La posibilidad de aumentar el tamaño de una figura sin modificar su forma es tan obvia y natural que durante milenios se pensó que era una consecuencia de los axiomas de la geometría, y se trató en vano de demostrarlo desde la Grecia antigua. Sin embargo, al inventar otras geometrías, las no euclidianas, los matemáticos del siglo XIX, entre ellos Bernhard Riemann y Nikolai Lobachevski se dieron cuenta que esto sólo sucedía en los espacios euclidianos, es decir sin curvatura.

Se puede definir una geometría sobre la esfera. En este caso, los segmentos son los caminos más cortos que unen sus extremos y las rectas son las geodésicas, en este caso, los ecuadores de la esfera. El análogo de una homotecia se construye así: Se escoge un punto O de la superficie como centro de la homotecia, y para definir la imagen de otro punto A se traza la geodésica que pasa por O y A (es única si A no es el punto diametralmente opuesto a O), consideramos que O es el origen de esta línea y A el punto de abcisa 1. La imagen A' sera el punto de abcisa k, donde k es la razón de la homotecia. En la figura se ha tomado k = 3 y se han construido las imágenes de B y C también.

triángulos semejantes sobre esfera

Se decreta luego que la imagen del "triángulo" ABC es el "triángulo A'B'C', es decir que los lados A'B', A'C' y B'C' son trozos de geodésicas, y que A'B'C' merece ser llamado triángulo semejante (por no decir homotético) a ABC.

Al aplicar la construcción precedente al pequeño triángulo ABC de la superfice de la esfera (pequeño en comparación con el diametro), la suma de sus ángulos será un poco más de π radianes (180º), pero el triángulo A'B'C' tendrá ángulos mayores y su suma será ya mucho mayor que π como se ve en la figura. El aumento de tamaño implica aquí claramente un cambio de forma.

En conclusión, los triángulos semejantes permiten saber en qué clase de espacio nos hallamos, uno euclidiano, o con curvatura positiva (como la esfera), o con curvatura negativa (espacio hiperbólico), y la doble caracterización de los triángulos similares (mismos ángulos y cocientes de los lados iguales) en la geometría usual no es ni anecdótico ni anodino.


Autor: M.Romero Schmidtke, con la crítica constructiva de Aburayama