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Transformación lineal

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Transformación lineal.

Definición

Se denomina transformación lineal a toda función, T, cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

  1. T(u+v) = T(u) + T(v)
  2. T(ku) = kT(u) donde k es un escalar.

Transformación lineal nula

T:V \rarr W / T(x) = O_W \forall x \in V

Transformación lineal identidad

T:V \rarr W / T(x) = x \forall x \in V

Homotecias

T:R^n \rarr R^n / T(x) = kx con k \in \real
Si |k| > 1 se denominan dilataciones
Si |k| < 1 se denominan contracciones
Ver artículo sobre Homotecias

Propiedades de las transformaciones lineales

  1. T:V \rarr W / T(0_V) = 0_W

Núcleo (kernel) e imagen

Si T: V \rarr W es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

\operatorname{Nu}(T)=\{\,x\in V:T(x)=0_W\,\}
  • Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
  • El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
  1. 0_V \in Nu(T) dado que T(0_V) = 0_W
  2. Dados u \and v \in V : T(u+v) = T(u) + T(v) = 0_W + 0_V = 0_W \Rightarrow u + v \in Nu(T)
  3. Dados u \in V \and k \in \real : T(ku) = k T(u) \and  T(ku) = k 0_W = 0_W \Rightarrow ku \in Nu(T)
  • Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad(T) = dim(Nu(T))
\operatorname{Im}(T) = \left\{y/y \in W \and \exists x \in V / (x,y) \in T\right\}
  • O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
  • La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
  • El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.
rg(T) = dim(Im(T))

Teorema de las dimensiones

dim(Nu(T)) + dim(Im(T)) = dim(V)

Teorema fundamental de las transformaciones lineales

  • Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn} un conjunto de vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal T: V \rarr W / T(V_i) = W_i Para todo 1 ≤ i ≤ n

Clasificación de las transformaciones lineales

  1. Monomorfismo: Si T: V \rarr W es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo. Nu(T) = {0_V}
  2. Epimorfismo: Si T: V \rarr W es sobreyectiva.
  3. Isomorfismo: Si T: V \rarr W es biyectiva.
  4. Endomorfismo: Si T: V \rarr V o sea si el dominio es igual al codominio.
  5. Automorfismo: Si T: V \rarr V es endomorfismo e isomorfismo a la vez.

Para que una transformacion lineal sea invertible debe de ser un isomorfismo, para lo que se requiere que el núcleo debe ser igual al vector nulo del codominio ({Ow}).

Matriz asociada a una transformación lineal

Referencias

Fuentes empleadas y notas