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Transformación lineal

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Transformación lineal.

Definición

Se denomina transformación lineal a toda función, T, cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

  1. donde k es un escalar.

Transformación lineal nula

Transformación lineal identidad

Homotecias

con
Si |k| > 1 se denominan dilataciones
Si |k| < 1 se denominan contracciones
Ver artículo sobre Homotecias

Propiedades de las transformaciones lineales

Núcleo (kernel) e imagen

Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

  • Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
  • El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
  1. dado que
  2. Dados
  3. Dados
  • Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad(T) = dim(Nu(T))
  • O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
  • La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
  • El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.
rg(T) = dim(Im(T))

Teorema de las dimensiones

dim(Nu(T)) + dim(Im(T)) = dim(V)

Teorema fundamental de las transformaciones lineales

  • Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn} un conjunto de vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal Para todo 1 ≤ ≤ n

Clasificación de las transformaciones lineales

  1. Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo.
  2. Epimorfismo: Si es sobreyectiva.
  3. Isomorfismo: Si es biyectiva.
  4. Endomorfismo: Si o sea si el dominio es igual al codominio.
  5. Automorfismo: Si es endomorfismo e isomorfismo a la vez.

Para que una transformacion lineal sea invertible debe de ser un isomorfismo, para lo que se requiere que el núcleo debe ser igual al vector nulo del codominio ({Ow}).

Matriz asociada a una transformación lineal

Referencias


Notas