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Transformación lineal.

[escribe] Definición

Se denomina transformación lineal a toda función, T, cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

1. T(u + v) = T(u) + T(v)
2. T(ku) = kT(u) donde k es un escalar.

[escribe] Transformación lineal nula

[escribe] Transformación lineal identidad

[escribe] Homotecias

con

Si |k| > 1 se denominan dilataciones

Si |k| < 1 se denominan contracciones

Ver artículo sobre Homotecias

[escribe] Propiedades de las transformaciones lineales

[escribe] Núcleo (kernel) e imagen

Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

• Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

• El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:

1. dado que T(0_V) = 0_W
2. Dados
3. Dados

• Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad(T) = dim(Nu(T))

• O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
• La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
• El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

rg(T) = dim(Im(T))

[escribe] Teorema de las dimensiones

dim(Nu(T)) + dim(Im(T)) = dim(V)

[escribe] Teorema fundamental de las transformaciones lineales

• Sea B = {v₁,v₂,v₃,...v_n} base de V y C = {w₁, w₂, w₃,...w_n} un conjunto de vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal Para todo 1 ≤ i ≤ n

[escribe] Clasificación de las transformaciones lineales

1. Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo. Nu(T) = 0_V
2. Epimorfismo: Si es sobreyectiva.
3. Isomorfismo: Si es biyectiva.
4. Endomorfismo: Si o sea si el dominio es igual al codominio.
5. Automorfismo: Si es endomorfismo e isomorfismo a la vez.

Para que una transformacion lineal sea invertible debe de ser un isomorfismo, para lo que se requiere que el núcleo debe ser igual al vector nulo del codominio ({Ow}).

[escribe] Matriz asociada a una transformación lineal

• Sea una transformación lineal es posible encontrar una matriz asociada a una transformación lineal

[escribe] Referencias

Notas