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Rama de las matemáticas que estudia las propiedades de las figuras geométricas o los espacios que no se ven alteradas por transformaciones continuas, biyectivas y de inversa continua (homeomorfismos). Es decir, la topología es un tipo de geometría donde está permitido doblar, estirar, encoger, retorcer... los objetos pero siempre que se haga sin romper ni separar lo que estaba unido (la transformación debe ser continua) ni pegar lo que estaba separado (la inversa también debe ser continua). Por ejemplo, en topología un círculo es lo mismo que un cuadrado, ya que podemos transformar uno en otro de forma continua, sin romper ni pegar.

Pero una circunferencia no es lo mismo que un segmento (ya que habría que partirla por algún punto). Un chiste habitual entre los topólogos (los matemáticos que se dedican a la topología) es que «un topólogo es una persona incapaz de distinguir una taza de una rosquilla»:

Pocos de los conceptos habituales de la geometría, como ángulo, línea recta, área, ... tienen sentido en topología. Entonces ¿para qué sirve la topología? Observemos la siguiente imagen:

Es un plano del metro de Madrid. Aquí están representadas las estaciones y las líneas de metro que las unen. Pero no es geométricamente exacto. La curvatura de las líneas de metro no coincide, ni su longitud a escala, ni la posición relativa de las estaciones... Pero aun así es un plano perfectamente útil (de hecho, si fuera exacto sería bastante más difícil de utilizar). Sin embargo este plano es exacto en cierto sentido; representa fielmente cierto tipo de información, la única que necesitamos para decidir nuestro camino por la red de metro: información topológica. La topología estudia propiedades de los objetos más básicas que las geométricas. En algunos problemas las propiedades geométricas son detalles superfluos que sólo sirven para complicar las cosas; la topología se centra en las propiedades más básicas y puede aplicar métodos que no están permitidos en geometría. Dicho sea de paso, problemas parecidos al del metro han dado origen a la teoría de grafos.

La mayoría de los matemáticos piensan que la esencia de las matemáticas es resolver problemas; asi que veamos uno de los problemas que resuelve la topología:

O, expresado más llanamente (y de ahí el nombre): Imaginemos una esfera cubierta de pelo, entonces el teorema nos dice que no se puede peinar la esfera de forma que los pelos estén orientados de forma continua. Siempre habrá en alguna parte un remolino, una raya, etc. Igual que en los ejemplos anteriores, es fácil ver que un animal, por ejemplo un perro, es topológicamente una esfera (si nos olvidamos de los orificios corporales y las zonas sin pelo) y por tanto no se puede peinar de forma perfectamente lisa, siempre habrá algún remolino, etc. (Problema: ¿para un perro real sigue siendo cierto? ¿qué figura es?). Todo esto parece muy poco útil y alejado del mundo real, pero no es cierto. Por ejemplo, si la esfera es la superficie de la Tierra, y los pelos representan la dirección del viento en un momento dado, entonces el teorema nos dice que siempre, en alguna parte, habrá algún remolino (y todo esto sin usar ninguna ecuación ni conocimientos de física).

Otro ejemplo, los primeros reactores de fusión nuclear que se intentaron construir, en los años 50, tenían forma esférica, y siempre fallaban, hasta que descubrieron el motivo, y hoy en día se hacen con forma de anillo. ¿Cuál era el problema? Un reactor de fusión es un recipiente que contiene plasma de hidrógeno a temperaturas y presiones muy elevadas, tanto que ningún material sólido lo puede contener, y por tanto se usan campos magnéticos para mantenerlo dentro. Si nos fijamos en la dirección del campo magnético en la superficie de la esfera que lo contiene, y lo proyectamos sobre ella, obtenemos una esfera peluda. Por tanto, debe haber algún punto donde el vector sea 0, es decir, el campo magnético sea perpendicular a la esfera. Y por tanto el plasma se escapaba del recipiente o se disolvía lo bastante para enfriarse.

Historia

La topología, como el resto de las ramas de las matemáticas, se desarrolló durante bastante tiempo sin un nombre ni una definición precisa. La definición anterior está basada en el programa de Erlangen de Felix Klein, que enunció en 1872; mientras que el término topología fue usado por primera vez por J. B. Listing, en 1836 en una carta a su antiguo profesor de la escuela primaria, Müller, y posteriormente en su libro Vorstudien zur Topologie (Estudio preliminar sobre topología), publicado en 1847. Anteriormente se la denominaba analysis situs, y todavía se la siguió llamando así durante bastante tiempo. La primera definición formal de espacio topológico la dio Hausdorff en su libro Grundzüge der Mengenlehre en 1912. Aunque si tenemos que elegir un creador para la topología, probablemente éste sería el gran matemático francés H. Poincaré, que si bien no fue el primero que resolvió problemas topológicos, sí que creó muchas de sus ramas y la aplicó a otros campos de la matemática, y a otras ciencias como la astronomía.

Algunos conceptos topológicos

Vamos a comentar ahora algunos conceptos que, al contrario que los puramente geométricos como el área o la curvatura, tienen sentido en topología, es decir, no cambian al aplicarle a un espacio un homeomorfismo. Son los llamados invariantes topológicos.

Uno de ellos es el número de «agujeros» que tiene el espacio, en cierto sentido. Por mucho que deformemos el espacio sin romper ni pegar (es decir, mediante un homeomorfismo), el número de agujeros no cambia. Por ejemplo, una rosquilla tiene un agujero, y por mucho que la estiremos y doblemos seguirá teniendo uno solo. Hay varias formas de definir precisamente qué entendemos por «agujero», entre ellas los grupos de homotopía y los grupos de homología.

Otro es la dimensión. Curiosamente, existen muchas definiciones distintas de dimensión topológica, no equivalentes pero que coinciden en los espacios usuales de la geometría.

Otro más es, en el caso de las superficies, el número mínimo de colores necesarios para colorear cualquier mapa sobre cada superficie, con el famoso teorema de los 4 colores en el caso del plano.

Problemas famosos o curiosos: puentes de Konisberg, algunos teoremas de dimension baja (Christenson-Voxman), hipótesis de Poincaré, clasificación de superficies (imposibilidad en dimension 4).

Interno/externo: banda de mobius, toro plano, planilandia.

espacios de dimension infinita, espacios de funciones

Division de la top: general (la basica, se aplica a analisis y estad) algebraica, diferencial, geometrica, de dimension baja...

Homologia, homotopia, teoria de nudos, teoria de la dimension (paradoja de Banach-Tarski, fractales), sistemas dinamicos,

Por ejemplo, una circunferencia divide a un plano que la contiene en dos regiones, una interior y otra exterior a la circunferencia. Un punto exterior no se puede conectar a uno interior con una trayectoria continua en el plano sin cortar a la circunferencia. Si se deforma el plano, éste deja de ser una superficie plana o lisa y la circunferencia se convierte en una curva arrugada; sin embargo, mantiene la propiedad de dividir a la superficie en una región interior y otra exterior. Es evidente que la rectitud y las medidas lineales y angulares son algunas de las propiedades que no se mantienen si el plano se distorsiona.

Ramas

Hay dos clases de topología bien diferenciadas:

• Topología primitiva:
  • Un ejemplo de topología primitiva es el problema de los puentes de Königsberg.
• Topología actual:
  • La topología es un campo muy activo de las matemáticas modernas. Un problema famoso de la topología, que sólo ha sido resuelto recientemente, es el determinar el número mínimo de colores distintos necesarios para colorear un mapa corriente de manera que no haya dos regiones limítrofes con el mismo color. En 1976, Kenneth Appel y Wolfgang Haken demostraron, usando un ordenador, que es suficiente con cuatro colores, sin depender del tamaño o del número de regiones.
  • La teoría de nudos es una rama de la topología que tiene todavía muchos problemas por resolver. Un nudo se puede considerar como una curva cerrada sencilla, hecha de goma y que se puede retorcer, alargar o deformar de cualquier forma en un espacio tridimensional, aunque no se puede romper. Dos nudos son equivalentes si se puede deformar uno de ellos para dar el otro; si esto no es posible, los nudos son distintos. Todavía no se ha podido encontrar un conjunto completo de características suficiente para distinguir los distintos tipos de nudos.

Influencia en otras ramas de las matemáticas

Algunos matemáticos dividen su ciencia en 5 ramas: álgebra, geometría, análisis matemático, estadística y topología. En realidad la topología tiene relaciones profundas con las otras ramas y se utiliza a menudo para resolver problemas planteados dentro de ellas, como por el ejemplo el teorema fundamental del álgebra (aquí se usa el teorema de la esfera peluda), multitud de problemas sobre límites, teoremas de existencia (por ejemplo el teorema de Picard sobre la existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales), etcétera. También tiene aplicaciones a la física, la cosmología, la biología, la meteorología y otras ciencias.

Tuvo una gran influencia en la creación de la teoría de conjuntos, fue el origen de la teoría de categorías y ha impulsado el desarrollo de los fundamentos de las matemáticas.

Referencias

Notas