La Enciclopedia Libre Universal en Español dispone de una lista de distribución pública, enciclo@listas.us.es

Terna pitagórica

Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.

Saltar a navegación, buscar

[escribe] I definición

Se llama terna pitagórica una terna de tres números naturales (x, y, z) tal que
x^2 + y^2 = z^2 \
.

Las ternas pitagóricas están relacionadas con los triángulos rectángulos por el teorema de Pitágoras, pues corresponden a las longitudes de los costados de los mismos - cuando son números enteros.

El meollo del problema es justamente encontrar longitudes enteras, porque si se olvida esta condición, encontrar tres números reales x,y,z que verifican la relación de Pitágoras x2 + y2 = z2 es muy sencillo: se puede escoger arbitrariamente x e y positivos y tomar
z = \sqrt{x^2 + y^2}
, o elegir x menor que z y tomar
y = \sqrt{z^2 - x^2}
. La unidad de longitud es arbitraria, por tanto se puede escoger a posteriori la unidad para que varios costados tengan longitudes enteras; sin embargo el que los tres costados tengan longitudes enteras equivale a que los cocientes de los lados sean números racionales. No es el caso en general de las raíces cuadradas como
\sqrt{x^2 + y^2}
.

La terna más famosa y conocida desde la Antigüedad (los egipcios la usaban) es (3; 4; 5), y escasa es la gente capaz de dar otra que no le sea proporcional, como (6; 8; 10).


[escribe] II La fórmula

Terna pitagórica.png

En este párrafo se va a encontrar la fórmula que permite fabricar todas las ternas pitagóricas existentes.

Sea (x, y, z) una de ella; tenemos entonces la relación
x^2 + y^2 = z^2 \
; dividémosla por z2. Se obtiene:
\left ( \frac x z \right ) ^2 + \left ( \frac y z \right ) ^2 = 1
. Geométricamente corresponde a una reducción del triángulo rectángulo por el factor z (ver figura).

El triángulo reducido, de longitudes \left ( \frac x z , \frac y z , 1 \right ) sigue rectángulo y su hipotenusa mide 1, por tanto se puede trazar en el círculo de radio 1, de centro el origen del sistema de coordenadas.

El vértice M \left ( \frac x z , \frac y z \right ) tiene la doble propiedad de pertenecer a la circunferencia y de tener coordenadas racionales. Sea A(-1; 0) otro punto racional; la recta (AM) tiene un coeficiente director (su pendiente) racional (pues une a dos puntos racionales); llamémoslo t = \frac m n con m y n coprimos (porque se puede imponer una fracción irreductible).

La ecuación de la recta (expresada con X e Y) se obtiene asi:
t = \frac {\Delta Y} {\Delta X} = \frac Y {X+1}
luego
Y = t \cdot (X + 1)
. La intersección de esta recta con el círculo unitario da el punto M en el primer cuadrante, esto es, la solución positiva del sistema

\left \{ \begin{matrix} Y = t \cdot (X+1) \\ X^2 + Y^2 = 1 \end{matrix} \right. es (X, Y) = \left ( \frac x z , \frac y z \right )

Remplazando Y por su expresión en la segunda ecuación se obtiene:
X^2 + t^2 \cdot(X+1)^2 = 1
es decir
(X+1)^2 \cdot t^2 = 1 - X^2
luego
t^2 = \frac {1-X^2} {(X+1)^2} = \frac {(1-X) \cdot (1+X) } {(1+X) \cdot (1+X)} = \frac {1-X} {1+X}
El interés de este método radica en la simplificación de la fracción anterior por 1+X.
De la igualdad anterior se deduce:
(1+X) \cdot t^2 = 1 - X
luego
X \cdot t^2 + X = 1 - t^2
por tanto X = \frac {1-t^2} {1+ t^2} = \frac {1 - \frac {m^2} {n^2} } {1+ \frac {m^2}{n^2} } = \frac {n^2 - m^2} {n^2 + m^2}

Y = t \cdot (X+1) = \frac m n \cdot \left ( \frac {n^2 - m^2} {n^2 + m^2} + 1 \right ) = \frac m n \cdot \frac {n^2 - m^2 + n^2 + m^2} {n^2 + m^2} = \frac m n \cdot \frac {2n^2} {m^2 + n^2} = \frac {2 \cdot m \cdot n} {m^2 + n^2}

De las igualdades \frac x z = \frac {n^2 - m^2} {n^2 + m^2} \ , \ \frac y z = \frac {2 \cdot m \cdot n} {m^2 + n^2} nos gustaría deducir que x = n² - m², y = 2mn, z = m² + n². Se han tomado las fracciones \frac x z y \frac y z irreductibles, luego la terna (x, y, z) será «primitiva» en el sentido de no ser múltiple de otra terna, como (6; 8; 10) lo es de (3; 4; 5). Ahora para obtener el resultado anterior, sólo es necesario que las fracciones \frac {n^2 - m^2} {n^2 + m^2} \ , \ \frac {2 \cdot m \cdot n} {m^2 + n^2} también sean irreductibles.
Primero m y n deben tener paridades distintas porque sino m² + n² sería par y por tanto la segunda fracción se simplificaría por 2. Luego un hipotético factor común de m² - n² y de m² + n² también tendría que dividir su suma 2m² y su diferencia 2n², por tanto sería un divisor común de 2m² y de 2n²; pero m² y n² son coprimos porque m y n lo son. Por consiguiente el factor común sólo puede ser 2, lo que es absurdo porque m² - n² y m² + n² son impares. Finalmente son fracciones irreductibles.

Se ha demostrado el teorema:

Las ternas pitagóricas primitivas son (x, y, z) = (m² - n², 2·m·n, m² + n²) con 0 < n < m, enteros de paridad distinta.
Las otras ternas son múltiples de estas últimas, es decir de la forma (k·m² - k·n², 2·k·m·n ,k·m² + k·n²)


[escribe] Ejemplos

La siguiente tabla da las ternas primitivas obtenidas al variar los parámetros m y n.

  n     m     m² - n²     2·m·n     m² + n²  
1
2
3
4
5
1
4
15
8
17
1
6
35
12
37
1
8
63
16
65
1
2k
4k²-1
4k
4k²+1
2
3
5
12
13
2
5
21
20
29
2
7
45
24
53
2
9
77
36
85
2
2k+1
4k²+4k-3
8k+4
4k²+4k+5
3
4
7
24
25
  n     m     m² - n²     2·m·n     m² + n²  
3
8
55
48
73
3
...
...
...
...
4
5
9
40
41
4
7
33
56
65
4
9
65
72
97
4
...
...
...
...
5
6
11
60
61
5
8
39
80
89
5
...
...
...
...
6
7
13
84
85
...
...
...
...
...

Esta tabla contiene las dieciséis ternas pitagóricas (x, y, z) cuyos números no superan a 100. Se han dado las fórmulas generales de las correspondientes a n = 1 y n = 2.


Autor: M.Romero Schmidtke


Aquí tenemos la formula original de los pitagóricos para generar ternas primitivas:

Para cualquier par de números enteros positivos " y > x " impares y coprimos,

donde el producto " xy = i " es el cateto impar y "(y² － x²) / 2 = p " es el cateto par,

siendo "(y² + x²) / 2 = h" la hipotenusa y el radio del incentro "r = x(y － x) / 2",

teniendo además que "y( x + y )" ó "y² + ( x y )" es igual al perímetro del triángulo

y si sabemos que el perímetro por el radio del incentro es el duplo de su área,

podemos deducir que " x y ( x + y ) ( y - x ) / 2² " sera igual a el Área de la triada,

recordando que " h － p = x² " es fácil obtener " h + p = y² " de cualquier terna primitiva.

Para n y m coprimos "m - n = x" y "n + m = y" ó "(y － x) / 2 = n" y "( x + y ) / 2 = m"

donde "n ( m - n ) = r " y "( m - n ) ( n + m ) n m = A" para " A / ( r / 2 ) " igual al perímetro.

Obtenido de «http://enciclopedia.us.es/index.php/Terna_pitag%C3%B3rica»
Herramientas personales
Espacios de nombres
Variantes
Acciones
Navegación
Herramientas
Crear un libro