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Teorema fundamental del álgebra

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El teorema fundamental del álgebra establece lo siguiente:

Todo polinomio de grado n, con coeficientes complejos, tiene exactamente n raíces, no forzosamente distintas, es decir contadas con su orden de multiplicidad.

Por ejemplo, el polinomio real (y por lo tanto también complejo):

tiene 2 como raíz doble, y -2 como raíz simple, lo que da en total tres raíces.

En otras palabras, todo polinomio:

se puede factorizar completamente, así:

,

con los complejos, y .

Los números complejos fueron inventados justamente para encontrar raíces de polinomios reales: i es por construcción una raíz de .

Lo extraordinario del teorema es que no hace falta inventar un número para cada polinomio real que se quiera factorizar, porque con todas las combinaciones lineales entre i y 1 (es decir con los ) se puede factorizar todos los polinomios reales, y también complejos. Esa propiedad significa que el cuerpo de los complejos es algebraicamente cerrado: no se puede salir de él buscando raíces de polinomios, que es la operación algebraica por excelencia.

Se tardaron dos siglos para completar la prueba de este teorema, del diecisiete al diecinueve. Figuras destacadas en esta labor fueron d'Alembert y Gauss, este último encontró distintas pruebas. En algunos países el teorema lleva el nombre de teorema de d'Alembert – Gauss (o en el orden inverso, o con un solo apellido). Hoy en día la prueba más elegante está basada en la inducción, y su primer paso es demostrar que un polinomio no constante (es decir de grado superior o igual a uno) debe tener una raíz, gracias al teorema de Liouville aplicado a la función inversa del polinomio, que es una función holomórfica, es decir derivable en el sentido complejo. Luego se factoriza la función por , donde r es la raíz que acabamos de encontrar, y se repite la operación con el cociente:

que es un polinomio de grado menor al de . Existen pruebas puramente algebraicas, que no emplean herramientas tan elaboradas (y posteriores al teorema).

Autor: M.Romero Schmidtke