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Teorema de Sarkovskii.

Sea una aplicación continua f : R→R. Si ésta función tiene un punto periódico de período k, entonces tiene puntos periódicos de todos los periodos inferiores a k según el orden "<<" siguiente:

Este teorema es óptimo, es decir, si m << k según el orden precedente, existen aplicaciones continuas con puntos periódicos de periodo m pero sin puntos periódicos de periodo k. En particular, una función que presenta un punto x periódico de orden tres, es decir tal que:

donde o es la composición de las funciones, entonces presentará puntos periódicos de cualquier orden:

Se dice que el periodo tres implica el caos, y esta propiedad es fundamental en la teoría del caos.
Este corolario recibe el nombre de "Teorema de Li y Yorke", matemáticos estadounidenses que redescubrieron parte del teorema ruso, que había pasado totalmente inadvertido en Occidente.

El ejemplo fundamental es f(x)= a·x·(1 - x), con x en el intervalo [ 0; 1], y a en [0; 4]. Cuando a crece de 0 a 4, va apareciendo puntos periódicos de orden 2, luego 4, luego 8, 16, ... y finalmente 3.

En abscisa figuran los valores de a. Un poco después de 3,8 aparece el período 3.

El teorema utiliza el hecho que R es totalmente ordenado y unidimensional, no se aplica a los números complejos:
La función f : C →C definida por f(z) = e^2iπ/3·z es tal que todos los puntos del plano son periódicos de orden 3, pero de ningún otro orden (excepto 0 que es de orden 1) - f es una rotación de ángulo 120 grados o 2·π/3 radianes y no existe equivalentes de las rotaciones en una dimensión.

Autor: M.Romero Schmidtke