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El teorema de Rolle dice lo siguiente:

Si:

• f es una función continua definidas en un intervalo [a, b]
• f es derivable sobre el intervalo abierto ]a,b[ (denotado también (a,b) )
• f(a) = f(b)
  

Entonces: existe un número c en el intervalo ]a,b[ tal que f '(c) = 0 .

En palabras más sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto su tangente será horizontal.
En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f. El tercer ejemplo muestra que no se garantiza la unicidad de c.

[escribe] Prueba:

• Gracias a la continuidad de f, la imagen de [a,b], conjunto conexo, es un conjunto conexo de R, y por lo tanto es un intervalo, el intervalo imagen.
• La imagen de una función continua de un conjunto compacto es un conjunto compacto, y por tanto el intervalo imagen es cerrado y de longitud finita: es de la forma [m, M], con m el valor mínimo de f y M su valor máximo.
• Si m = M , la función es constante, y cualquier punto c de (a,b) cumple el teorema. Descartado este caso, m ≠ M significa que uno de los dos no es igual a f(a) = f(b). Supongamos que sea M. Luego M > f(a) = f(b), y por tanto el máximo M está alcanzado en el interior del intervalo (corresonde al primer ejemplo).
• Sea c en (a,b) tal que f(c) = M. Por definición del máximo, M = f(c) ≥ f(x) para todo x de [a,b]. Entonces el cociente (f(c) - f(x)) / (c - x) es positivo cuando x < c (porque su numerador es siempre positivo y su denominador es positivo no nulo), y es negativo cuando x > c (el denominador se vuelve negativo no nulo). Pero f '(c) es por definición el límite de este cociente cuando x tiende hacia c. El límite por la izquierda, f '(c-), positivo, tiene que ser igual al límite por la derecha, f '(c+), negativo. Por tanto este limite común es nulo, es decir f '(c) = 0.
  

La prueba es muy parecida si es el mínimo que está alcanzado en (a,b).

[escribe] Generalización

Se generaliza el teorema precedente así:

Si:

• f es una función continua definida en un intervalo [a, b]
• f es derivable en el intervalo abierto (a,b)

Entonces: existe un número c en el intervalo (a,b) tal que :

Es decir que existe un punto c en donde la tangente es paralela a la cuerda (AB).

Su prueba es sencilla, pues utiliza el teorema precedente.
Sea p la pendiente de la cuerda: p = (f(b) - f(a)) / (b - a), y se define la función g(x) = f(x) - p·x. Entonces g(b) - g(a) = f(b) - p·b - (f(a) - p·a) = f(b) - f(a) - p(b - a) = f(b) - f(a) -(f(b) - f(a)) = 0, y g como f, es continua sobre [a,b] y derivable en su interior.
Según el teorema anterior, existe un c en (a,b) tal que g '(c) = 0; pero esto se escribe f ' (c) = p.

Este teorema se escribe también, con las mismas hipótesis: f(b) = f(a) + f '(c)(b-a) lo que deja entrever el teorema de Taylor-Young:
f(b) = f(a) + (b-a)f '(a) + ... + (b-a)ⁿ/n! · f⁽ⁿ⁾(c), con f n veces derivable sobre (a,b).

Autor: M.Romero Schmidtke