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Teorema de Pitágoras

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El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Por ejemplo un triángulo cuyos lados miden 3,4 y 5 unidades es rectángulo porque 3² + 4² = 5². Las ternas de enteros que, como (3; 4; 5) verifican esta relación se llaman ternas pitagóricas.

Primera demostración

Supongamos el triángulo de catetos a y b (formando un ángulo recto) y la hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b, es decir que a² + b² = c².

Teorema de Pitágoras.png

Si añadimos tres triángulos iguales al original alrededor del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado. En efecto, si la figura central de lado c primeramente dibujada es un cuadrado, sus lados formarán ángulos rectos, entonces, si giramos el triángulo original 90º alrededor del centro del cuadrado, vendrá a ocupar un posición perpendicular a la original, de modo tal que el lado a será colineal al lado b y viceversa, formándose un cuadrado de lado a+b.

El área de éste cuadrado puede expresarse de dos maneras:

  • El cuadrado del lado:
A = (a+b)2 = a2 + 2·a·b + b2
  • Suma del cuadrado original y los triángulos añadidos:
A = c2 + 4·(a·b/2) = c2 + 2·a·b

Igualando ambas expresiones:

a2 + 2·a·b + b2 = c2 + 2·a·b

y simplificando:

a2 + b2 = c2 , como queríamos demostrar.

Segunda demostración

Esta prueba es la traducción, en lenguaje matemático actual, de la ideada por el mismísimo Pitágoras que empleó la figura siguiente:

Pitágoras.png

Alrededor del triángulo ABC, se construyen tres cuadrados: el rojo, de área a2, el azul de área b2, y el bicolor verde anaranjado, de área c2.

- Los triángulos rectángulos ABC y HBC son semejantes (o similares) pues comparten el mismo ángulo B. Por lo tanto tenemos la igualdad de los cocientes: BH / BC = BC / BA, es decir a'/a = a/c (hoy en día , se diría que su valor es el seno de B). Por el producto cruzado: a2 = a'c, o sea que las áreas roja y anaranjada son iguales.

- De la misma manera, a partir de los triángulos ABC y HAC, se deduce que b'/b = b/c (sen A) y luego b2 = b'c, o sea que las áreas azul y verde son iguales.

Sumando las áreas roja y azul, obtenemos las áreas anaranjada y verde, es decir: a2 + b2 = a'c + b'c = (a' + b')c = c2

Esta prueba utiliza el teorema de Tales, un caso particular de los triángulos similares, teorema que sólo es válido en los espacios euclídeos (sin curvatura).

La demostración de Euclides: Proposición I.47

ARRIBA. El cuadrado y el romboide tienen la misma área, que a su vez es doble del área de cualquiera de los dos triángulos en que se descompone el romboide. Esto le permite a Euclides demostrar geométricamente el teorema de Pitágoras: los paralelogramos del mismo color tienen áreas equivalentes (ABAJO)

Euclides se ocupa del teorema de Pitágoras cuando ya se habían descubierto los números irracionales (las magnitudes inconmensurables), por lo que elabora una demostración que prescinde de la proporcionalidad entre segmentos —una proporción es la razón entre dos cantidades, un número racional—. En su lugar se basa en dos premisas muy sencillas, las proposiciones I.36 y I.41 —especialmente en la I.41— de los Elementos:

  • Dos paralelogramos de igual base, y entre las mismas paralelas, tienen la misma superficie (I.36).
  • Si un paralelogramo y un triángulo tienen la misma base, y están entre las mismas paralelas, la superficie del paralelogramo es el doble de la superficie del triángulo (I.41)

Con este bagaje en apariencia tan escaso, Euclides hace un bellísimo ejercicio de Geometría pura, y demuestra el teorema de Pitágoras.

Consideremos los triángulos ABJ y DBC: uno se transforma en el otro mediante un giro de centro en B. Ambos triángulos son iguales.

El triángulo ABJ y el rectángulo BKIJ tienen por base BJ, y están entre las mismas paralelas. Por tanto el área del triángulo es la mitad de la del rectángulo.

Por otra parte, pasa lo mismo con el triángulo DBC y el cuadrado ABDE, cuya base común es DB, y están comprendidos entre las mismas paralelas. El área de DBC es la mitad de la de ABDE.

Pero siendo iguales los triángulos ABJ y DBC, se sigue que BKIJ y ABDE tienen áreas equivalentes. . Hacemos análogos razonamientos con los triángulos BCG y ACH, en relación con el cuadrado AFGC y el rectángulo KCHI, respectivamente, para llegar a la conclusión de que estos últimos tienen áreas asimismo equivalentes.

A partir de aquí es evidente que en el triángulo rectángulo ABC la suma de las áreas de los cuadrados construídos sobre los catetos equivale al área del cuadrado construído sobre la hipotenusa.