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El Teorema de Euler (conocido también por el nombre de Teorema de Euler-Fermat) escrito por el matemático y físico suizo Leonhard Euler es una generalización del pequeño teorema de Fermat, y afirma una proposición sobre la divisibilidad de los números enteros. El teorema establece que:

• Si a y n son enteros primos relativos, entonces n divide al entero a^φ(n)- 1.

Pero es más común encontrarlo de la siguiente forma que usa la notación moderna en donde φ(n) es la función φ de Euler:

• Si a y n son enteros primos relativos, entonces a^φ(n) ≡ 1 (mod n).

[escribe] Función φ de Euler

Si n es un número entero, la cantidad de enteros entre 1 y n que son primos relativos con n se les denota como φ(n):

Se le conoce como las sigts función φ de Euler a la función φ. Esa función es multiplicativa: si m y n son primos relativos, entonces φ(mn)=φ(m)φ(n).

Se puede verificar con la tabla dada arriba:

φ(30) = φ(6)φ(5) =2·4 = 8

[escribe] Congruencias

Se dice que dos números a y b son congruentes respecto a un módulo n, cuando n divide al entero a-b. La congruencia de a, b respecto al módulo n se simboliza como a ≡ b (mod n).

• Si a≡b (mod n) entonces: a+c≡b+c (mod n) y ac ≡ bc (mod n) para cualquier entero c.
• Si a≡b (mod n) y b≡c (mod n) entonces a≡c (mod n).