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Se dice que una operación en un conjunto G define una estructura de grupo cuando verifica los siguientes axiomas (por comodidad usaremos la notación multiplicativa para la operación, aunque también sea muy frecuente usar la notación aditiva):

Axioma 1. (Propiedad Asociativa) Para todo x, y, z del conjunto G se verifica: x(yz)=(xy)z .

Axioma 2. (Existencia del elemento neutro) Existe un elemento 1 en G (llamado neutro) tal que: x1=1x=x para todo elemento x de G.

Axioma 3. (Existencia de inverso) Para cada elemento x de G, existe otro elemento y de G (que suele denotarse x^-1 y se llama inverso de x) tal que: xy=yx=1 .

En el caso de que la operación se denote aditivamente y no multiplicativamente, el elemento neutro se suele denotar 0 en vez de 1, y el inverso se llama opuesto y se denota -x en vez de x^-1.

[escribe] Grupo conmutativo o abeliano

Se denomina grupo conmutativo o abeliano a aquel grupo que verifica la propiedad conmutativa, es decir que para todo x, y de G se tiene: xy=yx .

[escribe] Ejemplos

La suma define estructura de grupo conmutativo en el conjunto Z de los números enteros, en el de los números racionales, en los números reales y en los complejos. Los vectores libres del espacio, con la suma de vectores, forman un grupo conmutativo. La suma de matrices define una estructura de grupo conmutativo en las matrices con coeficientes reales (digamos) con un número de columnas y filas prefijado. Las funciones reales de variable real, con la suma de funciones, también forman un grupo conmutativo, al igual que las sucesiones de números reales con la suma de sucesiones.

El producto define estructura de grupo conmutativo en los números racionales no nulos, los números reales positivos, los números complejos de módulo 1, etc. Las matrices cuadradas de n columnas con coeficientes reales forman un grupo con el producto de matrices, grupo que no es conmutativo cuando n>1.

Otros ejemplos de grupos no conmutativos se obtienen al considerar grupos de transformaciones, donde la operación es la composición de aplicaciones y el elemento neutro es la identidad. Así el grupo de los movimientos del espacio, el grupo de las semejanzas del plano, el grupo de las afinidades de una recta (las aplicaciones de la forma x→ax+b), el grupo de Galileo (formado por las transformaciones del espacio y el tiempo que conservan los sistemas de referencia inerciales), el grupo de Lorentz de la teoría de la relatividad, etc. Todos estos últimos ejemplos lo son del concepto de grupo de Lie, que son los grupos definidos por operaciones continuas sobre curvas superficies o variedades de dimensión mayor.

La importancia crucial de la teoría de grupos tanto en física como en matemáticas radica en que los isomorfismos de cualquier estructura, de cualquier teoría, forman siempre un grupo y que, en los casos más importantes, los grupos están clasificados: se conocen listas que agotan todos los que hay. La clasificación de los grupos de Lie, llevada a cabo esencialmente por Élie Cartan, es un punto culminante de la matemática europea, sólo comparable a la construcción de los 5 poliedros regulares realizada por la matemática griega. Al igual que ésta última es la determinación de todas las figuras geométricas simétricas posibles, la clasificación de grupos es la determinación de todas las posibles simetrías de cualquier estructura. Así, podemos conocer a priori los grupos de automorfismos de cualquier teoría geometrica. Además, de acuerdo con el Programa de Erlangen de Felix Klein, este grupo de automorfismos reconstruye la correspondiente teoría geométrica. Algo parecido sucede en física, donde se ha descubierto que el grupo de simetrías de la estructura infinitesimal, además de las propiedades infinitesimales, determina las partículas elementales. Aunque aún no conozcamos las teorías físicas por venir, la clasificación de grupos de Lie ya nos proporciona la lista de los posibles grupos de simetrías infinitesimales.

[escribe] Curiosidades

Un grupo puede tener infinitos elementos, (como Z con la suma, o los números reales no nulos con el producto) o por el contrario tener un número finito de éstos.

Dado un número natural n, los restos que se obtienen al dividir por n (es decir, los números 0, 1,..., n-1) forman un grupo, donde la suma a+b es precisamente el resto al dividir la suma ordinaria por n. Este grupo se denota con Z/nZ y se suele llamar grupo de restos módulo n. Así, el grupo Z/12Z es el que usamos para calcular con las horas de un reloj, y Z/24Z si queremos distinguir las horas de la mañana de la tarde.

Además, en Z/nZ el conjunto de los números primos con n (notación, (Z/nZ)*) forman un grupo cuando la operación ab es el resto al dividir por n el producto usual. Por ejemplo, el grupo (Z/12Z)* tiene 4 elementos.

Se dice que un grupo es cíclico si verifica estar engendrado por un solo elemento, es decir, supongamos que un conjunto A es grupo con respecto a una operación *. Si existe un elemento g en A tal que cualquier otro elemento de A se obtiene operando g o su inverso g^-1 reiteradamente

A={ ... , g^-r , ... , g^-1 , g⁰=1 , g¹=g , g² , ... , g^r , ... },

entonces se dice que (A,*) es un grupo cíclico y que g es un generador de A.

La clasificación de grupos cíclicos afirma que los finitos son isomorfos con Z/nZ, y los infinitos con Z.

Uno de los muchos logros de Gauss fue la clasificación de los grupos abelianos finitos: Son isomorfos a productos directos de grupos cíclicos Z/p^rZ cuyo cardinal es potencia de algún número primo. De hecho, esencialmente también están clasificados los grupos finitos, pues son extensiones de grupos simples y la Clasificación de los grupos finitos simples es uno de los grandes logros del Álgebra a finales del siglo XX.

[escribe] Referencias

Redactado por Alonso de Celada

Notas

Otras fuentes de información

• Programa de Erlangen en alemán.
• Programa de Erlangen en inglés.