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Teoría de conjuntos

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I. Introducción

Teoría de conjuntos, rama de las matemáticas a la que el matemático alemán Georg Cantor dio su primer tratamiento formal en el siglo XIX. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el de infinito.

II. Algunas definiciones

Un conjunto es una agrupación, de clases o colección de objetos denominados elementos del conjunto: utilizando símbolos aε S representa que el elemento a pertenece o está contenido en el conjunto S, o lo que es lo mismo, el conjunto S contiene al elemento a. Un conjunto S está definido si dado un objeto a, se sabe con certeza que o o (esto es, a no pertenece a S).

Un conjunto se representa frecuentemente mediante llaves que contienen sus elementos, ya sea de forma explícita, escribiendo todos y cada uno de los elementos, o dando una fórmula, regla o proposición que los describa. Por ejemplo, S1 = {2; 4}; S2 = {2, 4, 6, ..., 2n, ...} = 2N {todos los enteros pares}; S3 = {x | x2 - 6x + 11 ≥ 3}; S4 = {todos los varones vivos llamados Juan}. S3 se describe como el conjunto de todas las x tales que x2 - 6x + 11 ≥ 3.

A. Subconjuntos y superconjuntos

Si todo elemento de un conjunto R pertenece también al conjunto S, R es un subconjunto de S, y S es un superconjunto de R; utilizando símbolos, R S, o S R. Todo conjunto es un subconjunto y un superconjunto de sí mismo. Si R S, y al menos un elemento de S no pertenece a R, se dice que R es un subconjunto propio de S, y S es un superconjunto propio de R. Si R S y S R, es decir, todo elemento de un conjunto pertenece también al otro, entonces R y S son dos conjuntos iguales, lo que se escribe R = S. En los ejemplos del apartado anterior, S1 es un subconjunto propio de S2.

B. Unión e intersección

Si A y B son dos subconjuntos de un conjunto S, los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos forman otro subconjunto de S llamado unión de A y B, escrito A ∪ B. Los elementos comunes a A y B forman un subconjunto de S denominado intersección de A y B, escrito A ∩ B. Si A y B no tienen ningún elemento común, su intersección no tiene ningún elemento, y siendo conveniente representar esta intersección como otro conjunto, éste se denomina conjunto vacío o nulo y se representa con el símbolo ∅ o {} . Por ejemplo, si A = {2, 4, 6}, B = {4, 6, 8, 10} y C = {10, 14, 16, 26}, entonces A ∪ B = {2, 4, 6, 8, 10}, A ∪ C = {2, 4, 6, 10, 14, 16, 26}, A ∩ B = {4, 6} y A ∩ C = ∅.

C. Diferencia y complementario

El conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a B se denomina conjunto diferencia entre A y B, escrito A - B (y a veces A\B). Así, siguiendo con el ejemplo anterior, A - B = {2}, B - A = {8, 10}. Si A es un subconjunto del conjunto E, el conjunto de los elementos que pertenecen a E pero no a A, es decir, E - A, se denomina conjunto complementario de A (con respecto a E), lo que se escribe E - A = A' (que también puede aparecer como A, Ã o ~A).

III. Álgebra de conjuntos

Las siguientes propiedades, utilizando las definiciones del apartado anterior, se cumplen si A, B, C... son subconjuntos de un conjunto E:

  1. A ∪ B = B ∪ A (conmutatividad de ∪)
  2. A ∩ B = B ∩ A (conmutatividad de ∩)
  3. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (asociatividad de ∪), lo que autoriza la escritura A ∪ B ∪ C.
  4. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (asociatividad de ∩),lo que autoriza la escritura A ∩ B ∩ C.
  5. A ∪ ∅ = A (∅ es elemento neutro para ∪)
  6. A ∩ ∅ = ∅ ((∅ es elemento absorbente para ∩)
  7. A ∪ E = E (E es elemento absorbente para ∪)
  8. A ∩ E = A (E es elemento neutro para ∩)
  9. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (distributividad de ∪ sobre ∩)
  10. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (distributividad de ∩ sobre ∪)
  11. A ∪ A' = E
  12. A ∩ A' = ∅
  13. (A ∪ B)' = A' ∩ B'
  14. (A ∩ B)' = A' ∪ B'
  15. A ∪ A = A ∩ A = A
  16. (A')' = A
  17. A - B = A ∩ B'
  18. (A - B) - C = A - (B ∪ C)
  19. Si A ∩ B = ∅, entonces (A ∪ B) - B = A
  20. A - (B ∪ C) = (A - B) ∩ (A - C)

Éstas son las propiedades del álgebra de conjuntos, que es un caso particular del sistema algebraico conocido como Álgebra de Boole.

IV. Producto cartesiano de conjuntos

Si A y B son dos conjuntos, el conjunto de todos los posibles pares ordenados de elementos de la forma (a, b), donde a pertenece a A y b pertenece a B, se denomina producto cartesiano de A y B, que se escribe normalmente A × B. Por ejemplo, si A = {1, 2} y B = {x, y, z}, entonces A × B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)}. Y B × A = {(x, 1), (y, 1), (z, 1), (x, 2), (y, 2), (z, 2)}. En este caso, A × B ≠ B × A, pues al ser pares ordenados, el par (1, x) es distinto del par (x, 1).

V. Correspondencia entre conjuntos

Los elementos del conjunto A = {1, 2, 3} se pueden relacionar o hacer corresponder mediante una correspondencia f con los del conjunto B = {x, y, z} de modo que a todo elemento de A le corresponda uno, ninguno o varios elementos de B.

Esto se puede expresar también así: f(1) = {x, z}, f(2) = ∅ , f(3) = {z}. También se puede decir que f = {(1, x), (1, z), (3, z)}. Por tanto, una correspondencia entre dos conjuntos A y B es un subconjunto del producto cartesiano A × B.

Cuando una correspondencia es tal que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo uno del segundo conjunto, entonces se llama aplicación.