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Tensor de curvatura de Ricci
Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.
En geometría diferencial, la curvatura de Ricci es un tensor bivalente, obtenido como una traza del pleno tensor de curvatura. Puede ser pensado como un Laplaciano del tensor métrico riemaniano en el caso de las variedades de Riemann. En la dimensión 2 y 3, el tensor de curvatura es determinado totalmente por la curvatura de Ricci. Uno puede pensar en la curvatura de Ricci en una variedad de Riemann, como un operador en el espacio tangente. Si este operador es simplemente multiplicación por un constante, entonces tenemos variedad de Einstein. La curvatura de Ricci es proporcional al tensor métrico en este caso. La curvatura de Ricci se puede explicar en términos de la curvatura seccional de la manera siguiente: para un vector unitario v, <R(v), v > es suma de las curvaturas seccionales de todos los planos atravesados por el vector v y un vector de un marco ortonormal que contiene a v (hay n-1 tales planos). Aquí R(v) es la curvatura de Ricci como un operador lineal en el plano tangente, y <.,.> es el producto escalar métrico. La curvatura de Ricci contiene la misma información que todas las tales sumas sobre todos los vectores unitarios. En las dimensiones 2 y 3 éste es igual que especificar todas las curvaturas seccionales o el tensor de curvatura, pero en dimensiones más altas la curvatura de Ricci contiene menos información. Por ejemplo, las variedades de Einstein no tienen que tener curvatura constante en las dimensiones 4 y más.
Aplicaciones del tensor de curvatura de Ricci
La curvatura de Ricci se puede utilizar para definir las clases de Chern de un variedad, que son invariantes topológicos (por tanto independientes de la elección de métrica). La curvatura de Ricci también se utiliza en el flujo de Ricci, donde una métrica es deformada en la dirección de la curvatura de Ricci. En superficies, el flujo produce una métrica de curvatura de Gauss constante y se sigue el teorema de uniformización para las superficies. La curvatura de Ricci desempeña un papel importante en relatividad general, donde es el término dominante en la ecuación del campo de Einstein.
Topología global y la geometría de curvatura de Ricci positiva
El teorema de Mayers establece que si la curvatura de Ricci es limitada por abajo en una variedad completa de Riemann por 
, entonces su diámetro es 
, y la variedad tiene que tener un grupo fundamental finito. Si el diámetro es igual a 
, entonces la variedad es isométrica a una esfera de curvatura constante k.
La desigualdad de Bishop-Gromov establece que si la curvatura de Ricci de un variedad m-dimensional completa de Riemann es ≥0 entonces el volumen de una bola es más pequeño o igual al volumen de una bola del mismo radio en el m-espacio euclideano. Más aún, si vp(R) denota el volumen de la bola con centro p y radio R en la variedad y el V(R) = cmRm denota el volumen de la bola de radio R en el m-espacio euclidiano entonces la función vp(R) / V(R) es no creciente. (la última desigualdad se puede generalizar a una cota de curvatura arbitraria y es el punto dominante en la prueba de el teorema de compacidad de Gromov.)
El teorema de partición de Cheeger-Gromoll indica eso si una variedad completa de Riemann con el Ricc ≥ 0 tiene una línea recta (es decir una geodésica minimizante infinita de ambos lados) entonces es isométrica a un espacio R x L, donde L es una variedad de Riemann.
Todos los resultados arriba demuestran que la curvatura de Ricci positiva tiene cierto significado geométrico, en contrario, la curvatura negativa no es tan restrictiva, en particular como fue demostrado por Joachim Lohkamp, cualquier variedad admite una métrica de curvatura negativa.
