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En geometría diferencial, el tensor de curvatura es una de las nociones más importantes; generaliza la Curvatura de Gauss a dimensiones más altas. La geometría infinitesimal de las variedades de Riemann con dimensión ≥ 3 es demasiado complicada como para describirla por un número en un punto dado. Riemann introdujo una manera de describirla con un "pequeño monstruo de" tensor. Nociones similares han encontrado usos por todas partes en geometría diferencial.

Lo qué sigue es una descripción de este tensor; asume que el lector está familiarizado con la curvatura de Gauss. Los artículos conexión de Cartan y derivada covariante contienen dos maneras distintas de introducir y de calcular el tensor de curvatura.

El triángulo de oro de la geometría de Riemann

Conecciones, transporte paralelo y curvatura forma el, así llamado, triángulo de oro de la geometría de Riemann. El transporte paralelo es equivalente a especificar una derivada covariante - o una conexión; y una conexión determina el tensor de la curvatura. El tensor de curvatura viene dado en términos de una conexión (diferenciación covariante) por la fórmula siguiente:

El tensor de la curvatura, por otra parte, via holonomía, determina transporte paralelo, aunque solamente hasta un gauge.

Varias formas del tensor de curvatura en una variedad de Riemann

Hay varias maneras equivalentes de pensar en el tensor de curvatura en el caso de una variedad de Riemann. Quizás la manera más fácil de entenderlo es como transformación lineal R de 2-formas. Para explicar esto, considere la curvatura seccional, es decir la curvatura de una superficie geodésica de dos dimensiones que pasa a través de un punto - una sección, que es la imagen de un plano tangente bajo la función exponencial. El correspondiente plano tangente se puede representar por 2-formas. El tensor de curvatura da información equivalente a especificar todas las curvaturas seccionales. La norma cuadrada de una 2-forma por la curvatura seccional correspondiente de hecho da una nueva forma cuadrática en un espacio de 2-formas, y es dada exactamente por el operador lineal simétrico R. es decir (R(s), s) = k(s)(s, s).

El operador R puede ser entendido de otra manera. Cada 2-forma se puede representar por un lazo rectangular pequeño (de muchas maneras, pero de la forma correspondiente es lo qué importa aquí). Entonces el transporte paralelo alrededor de este lazo da lugar a una transformación del espacio tangente. Ésta es una transformación infinitesimal del espacio tangente, que se puede representar por un elemento del álgebra de Lie correspondiente al grupo de Lie de todas las transformaciones lineales del espacio tangente. Pero esta álgebra de Lie es nuevamente un álgebra de 2-formas, y R(s) es precisamente este generador.

El álgebra de Lie de todas las transformaciones del lazo es el álgebra de Lie de la holonomía correspondiente a la curvatura.

Otra manera de representar la curvatura es como un tensor (1,3)-valente. En geometría de Riemann, la valencia de este tensor se puede alterar, y hay otras representaciones equivalentes de la curvatura. En el formalismo de Cartan, la curvatura se da como matriz Ω de 2-formas.

Curvaturas escalar y de Ricci

En dos dimensiones, el tensor de curvatura está determinado por la curvatura escalar - que es la traza completa tensorial de la curvatura. En tres dimensiones, el tensor de curvatura está especificado por la curvatura de Ricci - que es una traza parcial tensorial de la curvatura. Esto tiene que ver con el hecho de que el espacio de 2-formas es tridimensional: la misma razón por la que podemos definir el producto vectorial para 3 dimensiones (el producto vectorial es precisamente el producto cuña de dos 1-formas compuesto con la estrella de Hodge, si representamos vectores con su 1-formas correspondientes).

En dimensiones más altas, el tensor pleno de curvatura contiene más información que la curvatura de Ricci.

La curvatura de Weyl y la descomposición del tensor de curvatura

Para dimensión n>3, el tensor de curvatura se puede descomponer en la parte que depende de la curvatura de Ricci, y el tensor de Weyl. Si R es el tensor (0, 4)-valente de curvatura de Riemann, entonces

donde Ric es la versión (0, 2)-valente de la curvatura de Ricci, s es la curvatura escalar y g es el tensor métrico (0, 2)-valente y

es el llamado producto de Kulkarni-Nomizu de los dos (0, 2)-tensores.

Si g'=fg para una cierta función escalar - el cambio conforme de la métrica - entonces W'=fW. Para curvatura constante, el tensor de Weyl es cero. Por otra parte, W=0 si y solamente si la métrica es conforme a la métrica euclidiana estándar (igual a fg, donde g es la métrica estándar en un cierto marco coordinado y f es una cierta función escalar). La curvatura es constante si y solamente si W=0 y Ric=s/n

• ver también: curvatura