Tangente

Sea C una curva, y A un punto de ésta. Se supone que A es un punto regular de la curva, es decir que no es un punto anguloso: La curva no cambia repentinamente de dirección en A.

La tangente a C en A es la recta T_A que pasa por A y que tiene la misma dirección que C alrededor de A.

La tangente es la posición límite de la recta (AM) (llamada cuerda de la curva), cuando M es un punto de C que se aproxima indefinidamente al punto A (M se desplaza sucesivamente por M₁, M₂, M₃, M₄ ...)

Si C representa una función f (no es el caso en el gráfico a la derecha), entonces la recta (AM) tendrá como coeficiente director (o pendiente):

$\frac {f(x) - f(a)} {x - a}$

donde a es la abscisa de A y x la de M.
Por lo tanto, la pendiente de la tangente T_A será el límite de la expresión anterior, con x tendiendo hacia a. Es, por definición, f '(a), el valor de la derivada de f en a:

$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac {f(x) - f(a)} {x - a}$

En el caso que A es un punto anguloso de la curva, no se puede definir la tangente porque la dirección alrededor de A no tiene límite. Sin embargo se pueden definir semitangentes, que son semirrectas que coinciden con la dirección de la curva de un lado y del otro de A.
Si la curva corresponde a una función, las pendientes de estas semitangentes son los valores de la derivada a la izquierda y a la derecha, denotados f'(a+) y f'(a-).

Autor: M.Romero Schmidtke