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Suma de Riemann

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Índice

1 Definición y representación
2 Teorema fundamental
- 2.1 Prueba
- 2.2 Ejemplos
3 Generalizaciones
4 Rapidez de Convergencia

[escribe] Definición y representación

Estas sumas fueron inventadas por Bernhard Riemann para aproximar el valor de las integrales definidas (es decir definidas en intervalos del tipo [a, b]) y para elaborar un criterio de integrabilidad (es decir para saber que funciones son integrables, y según que método de cálculo).

Las sumas de Riemann más sencillas son las siguientes: $S_n = \frac 1 n \sum_{k=0}^{n-1} f \left( \frac k n \right) \ \ \mbox{ y } \ \ S_n^{'} = \frac 1 n \sum_{k=1}^n f \left( \frac k n \right)$ . Una suma de Riemann se interpreta como el área total de rectángulos adyacientes de anchura común $1 \over n$ y de alturas $f \left( \frac k n \right)$ situados entre el eje de los abscisas y la curva de la función f (ver figura siguiente).

Sumas de Riemann S'_n de una misma función, con n = 5 rectángulos; n = 10 y n = 20. Cuando crece n, el área total de los rectángulos se aproxima al área delimitado por el eje de las abscisas y la curva de f.

[escribe] Teorema fundamental

El teorema más elemental es el siguiente:

Para toda función continua en el intervalo [0, 1] las sumas de Riemann convergen a la integral de f en el intervalo:

$\lim_{n \to \infty} \frac 1 n \sum_{k=0}^{n-1} f \left( \frac k n \right) = \lim_{n \to \infty} \frac 1 n \sum_{k=1}^n f \left( \frac k n \right) = \int_0^1 f(x) dx$

[escribe] Prueba

El intervalo I = [0,1] es un espacio métrico compacto por lo que toda función continua lo es de manera uniforme (según el teorema de Heine): la continuidad en I se escribe :

$\forall \epsilon > 0, \ \forall x \in I, \ , \exists \alpha_{x,\epsilon} > 0 , \forall y \in I, | y - x | < \alpha_{x,\epsilon} \Longrightarrow |f(y) - f(x)| < \epsilon$
es decir que el número α depende de x (y de ε), mientras que en la continuidad uniforme se puede encontrar un número α que sirva para todos los x de I:
$\forall \epsilon > 0, \ \exists \alpha_{\epsilon} > 0 , \ \forall x \in I, \ \forall y \in I, | y - x | < \alpha_{\epsilon} \Longrightarrow |f(y) - f(x)| < \epsilon$

Tomemos un ε > 0 cualquiera, y un α > 0 que verifica la relación anterior. Luego existe un natural n tal que $\frac 1 n \ < \ \alpha$ (basta con tomar $n \ > \left \lfloor {1 \over \alpha } \right \rfloor$ , la parte entera de $1 \over \alpha$ ).
Para todo x en $\left [ \frac k n , \frac {k+1} n \right ] , \left | x - \frac k n \right | < \frac 1 n < \alpha$ luego $\left | f(x) - f \left ( \frac k n \right ) \right | < \epsilon$ , lo que también se escribe: $f \left ( \frac k n \right ) - \epsilon < f(x) < f \left ( \frac k n \right ) + \epsilon$

Integrando la relación anterior en $\left [ \frac k n , \frac {k+1} n \right ]$ se obtiene la siguiente: $(R_k)\, : \ \frac {f \left ( \frac k n \right ) - \epsilon} n < \int_{\frac k n}^{\frac {k+1} n} f(x) \, dx < \frac {f \left ( \frac k n \right ) + \epsilon } n$
Luego sumando los $(R_k) \,$ con k variando de 0 a n - 1 se obtiene: $\frac 1 n \sum_{k=0}^{n-1} f \left( \frac k n \right) - \epsilon < \int_0^1 f(x) \, dx < \frac 1 n \sum_{k=0}^{n-1} f \left( \frac k n \right) + \epsilon$
lo que equivale a: $\int_0^1 f(x) \, dx - \epsilon < \frac 1 n \sum_{k=0}^{n-1} f \left( \frac k n \right) < \int_0^1 f(x) \, dx + \epsilon$ .
El valor de ε puede ser arbitrariamente pequeño (cercano a cero) con tal de tomar n lo suficientemente grande. Luego la relación anterior pasa al límite y da: $\lim_{n \to \infty} \frac 1 n \sum_{k=0}^{n-1} f \left( \frac k n \right) = \int_0^1 f(x) dx$
Se demuestra de manera muy parecida la convergencia de la otra suma de Riemann, pues en $\left [ \frac k n , \frac {k+1} n \right ]$ también tenemos $\left | x - \frac {k+1} n \right | < \frac 1 n < \alpha$ .

[escribe] Ejemplos

1) Historicamente se ha sabido calcular sumas muy antes de medir áreas mediante integrales. Por esta razón el primer ejemplo utiliza el teorema en el sentido original de definir una integral gracias a las sumas de Riemann. El primer área que necesitó cálculos elaborados fue la definida por la parábola: la cuadratura de la parábola fue resuelta por Arquímedes en el siglo III adC aproximando una porción de parábola por triángulos cuyas superficies forman una sucesión geométrica. Utilizar rectángulos en vez de triángulos permite utilizar las sumas de Riemann.

Se establece por inducción la relación muy conocida que da la suma de los primeros cuadrados: $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac {n(n+1)(2n+1)} 6$
Luego: $\int_0^1 x^2 \, dx = \lim_{n \to \infty} \left ( \frac 1 n \sum_{k=1}^n \left ( \frac k n \right )^2 \right ) = \lim_{n \to \infty} \left ( \frac 1 {n^3} \sum_{k=1}^n k^2 \right ) = \lim_{n \to \infty} \frac {n(n+1)(2n+1)} {6n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac { 2n^3 + 3n^2 + n} {6n^3} = \lim_{n \to \infty} \left ( \frac 2 6 + \frac 3 {6n} + \frac 1 {6n^2} \right ) = \frac 1 3$

2) ¿Hacia qué valor tiende la sumas de los n inversos empezando por $1 \over n$ ? En otras palabras, ¿cuál es el límite de la sucesión $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ cuyos primeros términos son: $u_1 = \frac 1 1 = 1 , \ \ u_2 = \frac 1 2 + \frac 1 3 = \frac 5 6 \ ,$ $u_3 = \frac 1 3 + \frac 1 4 +\frac 1 5 = \frac {47} {60},$ $u_4 = \frac 1 4 + \frac 1 5 + \frac 1 6 + \frac 1 7 = \frac {319} {420}, u_5 = \frac 1 5 + \frac 1 6 + \frac 1 7 + \frac 1 8 + \frac 1 9 = \frac {1914} {2520}$ y así sucesivamente?

El término general es $u_n = \frac 1 n + \frac 1 {n+1} + ... + \frac 1 {2n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} \frac 1 {n+k}$ , es acotado por $\frac 1 2$ y 1 (se mira el número de términos multiplicado por el menor y el mayor respectivamente), es decreciente (al pasar de u_n a u_n+1 se añade $\frac 1 {2n} + \frac 1 {2n+1}$ pero se quita $\frac 1 n$ que es mayor) luego la sucesión converge.
$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac 1 {n+k} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac 1 {n \left ( 1+\frac k n \right ) } = \lim_{n \to \infty} \frac 1 n \sum_{k=0}^{n-1} \frac 1 { 1+\frac k n } = \int_0^1 \frac {dx} {1 +x} = \left [ \ln (1+x) \right]_0^1 = \ln 2$

3) Hallar el límite del producto $p_n = \prod_{k=1}^n \cos \left ( \frac k n \right )$ cuando n tiende hacia el infinito.

Para trasformar un producto de factores estrictamente positivos en una suma se usa el logaritmo: $\ln ( p_n) = \sum_{k=1}^n \ln \left ( \cos \left ( \frac k n \right ) \right ) = n \cdot \frac 1 n \sum_{k=1}^n \ln \left ( \cos \left ( \frac k n \right ) \right )$ . El factor n tiende hacia el infinito, mientras que $\lim_{n \to \infty} \frac 1 n \sum_{k=1}^n \ln \left ( \cos \left ( \frac k n \right ) \right ) = \int_0^1 \ln ( \cos x) \, dx$ que es estrictamente negativo porque la función integrada $x \longmapsto \ln(\cos x)$ es estrictamente negativa en [0,1] salvo en el punto aislado 0 donde es nula. Luego $\lim_{n \to \infty} \ln (p_n) = - \infty$ y por tanto $\lim_{n \to \infty} p_n = 0$ .

[escribe] Generalizaciones

[escribe] A otros intervalos

Si en vez de trabajar con una función definida en [0, 1] escojemos un intervalo compacto cualquira [a, b], que seguimos cortando en n subintervalos de misma longitud $h = \frac {b-a} n$ obtenemos una aproximación del área bajo la curva de f por n rectángulos de área total $S_n = \frac {b-a} n \sum_{k=0}^{n-1} f \left( a+ \frac {k(b-a)} n \right) = h \sum_{k=0}^{n-1} f(a+kh)$ , aproximación que se vueve más precisa a medida que crece n, luego el teorema es el siguiente:

$\lim_{n \to \infty} \frac {b-a} n \sum_{k=0}^{n-1} f \left( a+ \frac {k(b-a)} n \right) = \lim_{n \to \infty} \frac {b-a} n \sum_{k=1}^n f \left( a+ \frac {k(b-a)} n \right) = \int_a^b f(x) \, dx$

La prueba es idéntica a la con el intervalo [0, 1] porque en la demostración sólo se utiliza la compacidad del intervalo. Otro argumento es emplear el cambio de variable para pasar de una función f definida en [a, b] a otra, g, definida en [0, 1]: Concretamente: $g(t) = f \left(a + (b-a)t \right )$ .
Así $\lim_{n \to \infty} \frac {b-a} n \sum_{k=0}^{n-1} f \left( a+ (b-a) \frac k n \right) = \lim_{n \to \infty} \frac {b-a} n \sum_{k=0}^{n-1} g \left ( \frac k n \right ) = (b-a) \lim_{n \to \infty} \frac 1 n \sum_{k=0}^{n-1} g \left ( \frac k n \right ) = (b-a) \int_0^1 g(x) \, dx$ por el teorema en [0, 1],
y: $\int_a^b f(x) \, dx = (b-a) \int_0^1 g(t) \, dt$ con el cambio de variable: $x = a + (b-a)t \ \ \mbox{ y } \ \ dx = (b-a)dt$ .

Ejemplo: $\lim_{n \to \infty} \frac \pi n \sum_{k=1}^n e^{\frac {ik\pi} n } = \int_0^{\pi} e^{it} \, dt = \left [ \frac {e^{it}} i \right ]_0^{\pi} = -i \left [ e^{it} \right ]_0^{\pi} = -i \left ( e^{i\pi} - e^0 \right ) = -i ( -1 - 1) = 2i$

[escribe] A otras subdivisiones

Hasta el momento se ha descompuesto el intervalo de estudio, [0, 1] o [a, b] en n segmentos de misma longitud, es decir que se ha utlizado una subdivisión regular del intervalo. Una subdivisión cualquiera σ de [a, b] es definida por los números x_₀, x_₁ ... x_n tales que $a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b \, .$ Se denota δ(σ) la mayor longitud de los intervalos [x_{_k-1}, x_{_k}] (k entre 1 y n): $\delta ( \sigma) = \sup_{1\leq k\leq n}(x_k-x_{k-1}).$

Con una subdivisión dada σ se puede definir naturalmente dos sumas que denotaremos $S_{\sigma} = \sum_{k=1}^n (x_{k}-x_{k-1}) f (x_{k-1}) \ \ \mbox{ y } \ \ S_{\sigma}^{\prime} = \sum_{k=1}^n (x_k-x_{k-1}) f ({x_k})$ El teorema que generaliza el teorema fundamental es el siguiente:

Para toda función continua en un intervalo [a, b] las sumas de Riemann convergen hacia la integral de f cuando δ(σ) tiende hacia cero:

$\lim_{\delta(\sigma) \to 0} \ \sum_{k=1}^n (x_k-x_{k-1}) f (x_{k-1}) = \lim_{\delta(\sigma) \to 0} \ \sum_{k=1}^n (x_k-x_{k-1}) f (x_k) = \int_a^b f(x) \, dx$

[escribe] A otros puntos de cálculo

Hasta ahora se ha calculado la función a uno u otro extremo de cada segmento, por sencillez; sin embargo la demostración del teorema sigue válida sin esta restricción, lo que permite generalizar aun más las sumas de Riemann escogiendo en cada intervalo [x_{_k-1}, x_{_k}] el punto de cálculo de la función, $\xi_k \in [ x_{k-1}, x_k ]$ . La suma es entonces $S_{\sigma} = \sum_{k=1}^{n} (x_{k}-x_{k-1}) f (\xi_k)$ .

Funciones escalonadas

$f_{\sigma}^{-} \ \ y \ \ f_{\sigma}^{+}$

. El área rojo oscuro mide

$S_{\sigma}^{-}$

, el área total coloreada (rojo + verde) mide

$S_{\sigma}^{+}.$

El teorema es, sin sorpresa, el mismo: $\lim_{\delta(\sigma) \to 0} \ \sum_{k=0}^{n-1} (x_{k+1}-x_k) f (\xi_k) = \int_a^b f(x) \, dx$

Los puntos de cálculo también pueden ser implícitos, ya que para hallar la suma se precisa conocer las imágenes $f(\xi_k ) \,$ y no los $\xi_k \,$ mismos.

La función f siendo continua en cada intervalo [x_{_k-1}, x_{_k}], cada valor v_{_k} entre el ínfimo

$m_k = \inf_{[x_{k-1}, x_k]}(f)$

y el supremo

$M_k = \sup_{[x_{k-1}, x_k]}(f)$

es la imagen de un punto (por lo menos) del intervalo $\left (v_k \in [m_k,M_k] = f \left ( [x_{k-1}, x_k] \right ) \right )$ por lo que $\sum_{k=1}^{n} (x_{k}-x_{k-1}) v_k$ es una suma de Riemann, donde los $\xi_k \,$ son implícitos (y de hecho, desconocidos). En particular $S_{\sigma}^{-} = \sum_{k=1}^{n} (x_{k}-x_{k-1}) m_k \ \ y \ \ S_{\sigma}^{+} = \sum_{k=1}^{n} (x_{k}-x_{k-1}) M_k$ son las sumas de Riemann de menor y mayor valor respectivamente asociadas a la subdivisión σ. Se llaman sumas de Darboux y corresponden a integrales de funciones escalonadas

$f_{\sigma}^{-} \ \ y \ \ f_{\sigma}^{+}$

que mejor acotan a f:

$\forall x \in [a, b] , \ \ f_{\sigma}^{-}(x) \le f(x) \le f_{\sigma}^{+}(x)$

y, por definición misma de la integral de Riemann,

$\int_a^b f(x) \, dx$

es el límite común de

$\int_a^b f_{\sigma}^{-}(x) \, dx \ \ y \int_a^b f_{\sigma}^{+}(x) \, dx$

, es decir de

$S_{\sigma}^{-} \ \ y \ \ S_{\sigma}^{+}.$

cuando δ(σ) tiende hacia cero.

[escribe] Rapidez de Convergencia

Las sumas de Riemann constituyen un método efectivo pero aproximativo de cálculo de integrales. Para obtener una precisión impuesta de antemano, ¿Cuantos cálculos se necesitan? es decir, concretamente, ¿Qué valor mínimo de n escoger? (hay que tener en cuanta que cuando crece n crece la precisión del cálculo pero también el tiempo que consumirá dicho cálculo). Más importante aun: ¿Qué método elegir? Aquí se entiende por método la manera de escoger los puntos ξ_{_k} de cálculo de la función en cada intervalo [x_{_k-1}, x_{_k}].

[escribe] Método de los rectángulos

El llamado método de los rectángulos es el caso más sencillo, la de la subdivisión regular del intervalo [a, b] en n segmentos, con los puntos de cálculo de la función a un extremo de cada segmento: Sea

$M_1 = \sup_{x \in [a,b]} |f'(x)|$

el valor máximo de la derivada en valor absoluto.

Entonces el error entre la suma de Riemann S y la integral verifica: $\left | S - \int_a^b f(x) \, dx \right | \le M_1 \frac {(b-a)^2} {2n}$

Prueba: Tomemos n = 1; en tal caso, la suma es S = (b-a)f(a). Tenemos $( \forall x \in [a,\, b] \ |f'(x)| \le M_1 ) \Longrightarrow \left ( \forall x \in [a,\, b] \ | f(x) - f(a)| \le M_1(x-a) \right )$ (por integración)

luego: $\left | \int_a^b f(x) \, dx - S \right | = \left | \int_a^b f(x) \, dx - \int_a^b f(a) \, dx \right | = \left | \int_a^b (f(x)-f(a)) \, dx \right | \le \int_a^b | f(x)- f(a)| \, dx \le \int_a^b M_1 (x- a) \, dx =$ $M_1 \int_0^{b-a} t \, dt = M_1 \left [ \frac {x^2} 2 \right ]_0^{b-a} = M_1 \frac {(b-a)^2} 2$

Al pasar del caso n = 1 al caso n cualquiera se remplaza el intervalo [a, b] por otro de longitud n veces menor, es decir se remplaza en la fórmula b - a por $\frac {b-a} n$ , luego se multiplica por n el error porque hay n pequeños intervalos con la longitud anterior: $\frac {M_1} 2 \left ( \frac {b-a} n \right )^2 \times n = M_1 \frac {(b-a)^2} {2n}$ es el error máximo.

Este error se alcanza con una función tan sencilla como la lineal f(x) = mx (aquí M₁ = |m|) lo que implica que este método dista mucho de ser eficaz: un error en $\frac 1 n$ se considera enorme: $\frac 1 n$ tiende muy lentamente hacia cero.

Los puntos donde se calculan la función son los centros de los intervalos

[escribe] Método de los puntos medios

El método de los puntos medios es el segundo caso más común, es una variante del anterior, con una única diferencia: Se toman como puntos de cálculo los centros de los segmentos de la subdivisión regular. La suma es $S = h \sum_{k=0}^{n-1} f \left ( a + \left( k + \frac 1 2 \right ) h \right ) \ \ \ \mbox{con} \ \ h = \frac {b - a} n$ .

Sea

$M_2 = \sup_{x \in [a,b]} |f''(x)|$

el valor máximo de la segunda derivada en valor absoluto. Entonces el error verifica: $\left | S - \int_a^b f(x) \, dx \right | \le M_2 \frac {(b-a)^3} {24 n^2}$ .

Prueba: Tomemos como anteriormente n = 1, por tanto la suma de Riemann es $S = (b - a)f(c), \mbox{ con } c = \frac {a+ b} 2$ .
$|f''(x)| \le M_2$ da, integrando entre c y x (si hace falta, se remplazan los valores absolutos por una desigualdad doble) $|f'(x)- f'(c)| \le M_2 |x - c|,$ y luego $(1) \ : \ \ |f(x)- f(c)- f'(c)(x-c)| \le \frac {M_2} 2 (x - c)^2$ . Observamos que $\int_a^b \left ( f(c) + f'(c)(x-c) \right ) dx = (b-a)f(c) + f'(c) \left [ \frac {(x-c)^2} 2 \right ]_a^b = (b-a)f(c) + \frac {f'(c)} 2 \left ( (b-c)^2 - (a-c)^2 \right ) = (b-a)f(c) = S$ .

$(2) \le \int_a^b \frac {M_2} 2 (x - c)^2 \, dx = \frac {M_2} 6 \left [ (x-c)^3 \right ]_a^b = \frac {M_2} 6 \left ( (b-c)^3 - (a-c)^3 \right ) =$ $\frac {M_2} 6 \left ( \left ( \frac {b-a} 2 \right )^3 - \left (\frac {a-b} 2 \right )^3 \right )$ $= \frac {M_2} 6 \left ( \left ( \frac {b-a} 2 \right )^3 + \left (\frac {b-a} 2 \right )^3 \right )$ $= \frac {M_2} 6 \frac {(b-a)^3} 8 \times 2 = \frac {M_2} {24} (b-a)^3$ .

Con n cualquiera, $(b-a)^3 \,$ se vuelve $\frac {(b-a)^3} {n^3}$ que se multiplica por n pourque hay n intervalos.

El error es acotado por un término en $\frac 1 {n^2}$ lo que es mucho mejor que el $\frac 1 n$ del método anterior porque converge hacia cero mucho más de prisa.

Áreas equivalentesEl área del trapecio azul es el mismo que el del rectángulo verde y de los rectángulos adyacientes rojos

[escribe] Método de los trapecios

El método de los trapecios consiste en aproximar la integral por el área total de los trapecios que tocan la curva en los dos vértices que no están sobre el eje horizontal (ver figura azul). La suma es La suma es $S = h \left ( \frac 1 2 f(a) + f(a+h) +f(a+ 2h)+ ... + f(a+ (n-1)h) + \frac 1 2 f(b) ) \right ) =$ $h \left ( \frac 1 2 f(a) + \sum_{k=1}^{n-1} f(a+kh) \ + \frac 1 2 f(b) \right )\ \ \mbox{con} \ \ h = \frac {b - a} n$ .

Tres interpretaciones del área obtenida por el método de los trapecios

A primera vista (ver figura azul) no corresponde a una suma de Riemann; sin embargo como todo trapecio tiene la misma área que un rectángulo de misma base, esta suma corresponde a la figura verde, donde los puntos de cálculo de la función son abscisas de puntos de intersección de la curva con los lados horizontales de los rectángulos verdes (por ejemplo el punto A); estos puntos siempre existen, en cada intervalo [x_{_k-1}, x_{_k}], por el teorema de los valores intermedios: $\frac {f\left (x_k \right ) + f \left ( x_{k+1} \right ) }2$ , que es la altura del rectángulo, es un valor alcanzado por f porque pertenece al intervalo $[ f \left( x_k \right ), f \left ( x_{k+1}\right ) ]$ . Para estimar la rapidez de convergencia, es conveniente mirar al área equivalente roja. El área total (color rosado) está compuesta por:

* dos rectángulos de media anchura, el error es acotado como en el caso de un intervalo de longitud $\frac {b-a} n$ en el método de los rectángulos (punto de cálculo en un extremo del intervalo), es decir por $M_1 \frac {(b-a)^2} {2n^2}$ y

* n - 1 rectángulos de anchura $\frac {b-a} n$ con puntos de cálculo centrales (como el punto B de la figura) luego el error es acotado por $(n-1) \times \frac {M_2} {24} {\frac {(b-a)^3} {n^3} }$

Luego el error total es inferior o igual a $\frac { (b-a)^2} {24n^2} \left ( 12 M_1 + M_2(b-a) \frac {n-1} n \right )$ ; por tanto es acotado por un término en $\frac 1 {n^2}$ .
Sin embargo, otro cálculo da un resultado más sencillo que prescinde de M₁: $\left | S - \int_a^b f(x) \, dx \right | \le M_2 \frac {(b-a)^3} {12 n^2}$ , es decir que el error máximo es exactamente el doble del error máximo cometido en el método de los puntos medios. A pesar de lo último, este método tiene la ventaja sobre el de los puntos medios de no obligar a calcular otros valores de la función salvo los $f\left (a + \frac {k(b-a)} n \right )$ que a menudo ya se han calculado previamente a la estimación de la integral.

Bibliografía
Autor: M.Romero Schmidtke

Notas

Obtenido de «http://enciclopedia.us.es/index.php/Suma_de_Riemann»

Suma de Riemann

Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.

Índice

[escribe] Definición y representación

[escribe] Teorema fundamental

[escribe] Prueba

[escribe] Ejemplos

[escribe] Generalizaciones

[escribe] A otros intervalos

[escribe] A otras subdivisiones

[escribe] A otros puntos de cálculo

[escribe] Rapidez de Convergencia

[escribe] Método de los rectángulos

[escribe] Método de los puntos medios

[escribe] Método de los trapecios

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