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Suma

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Suma o adición. De forma muy genérica dícese de la acción de sumar, que es el hecho de teniendo dos entes matemáticos añadir a uno el otro. Se simboliza con el signo + entre los dos (o más) elementos a sumar, denominados sumandos.

Es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética. Su operación inversa es la resta. Por ejemplo, si a+b=c, entonces c-b=a.

Definición básica

Sumar es la operación que tiene por finalidad reunir las unidades de varios números, para formar un total, que tenga tantas unidades como los números reunidos.

Esto es válido para cualquir clase de número (natural, entero, fraccionario, racional...etc)

Términos y representación

Las partes que integran la suma son los sumandos y el total.

Los sumandos son los números a reunir y el total es el resultado de la reunión de los sumandos.

Para indicar que los números A, B, C y D se tienen que sumar se indica así A+B+C+D=Total

Ejemplos 3+4+5=12, 5+(-2)=3, (1/2)+(2/4)=1, 2+(2/4)=2(1/2)...etc

Propiedades básicas comunes

1.-Propiedad fundamental: Las unidades del total son las mismas que la de todos los sumandos juntos. Demostración: Es evidente que el hecho de agrupar unidades no afecta a la cantidad de estas.

2.-Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma. Demostración: Es evidente que el orden de agrupar unidades no afecta a la cantidad de estas.

3.-Propiedad asociativa: Si sustituimos, en una suma de varios factores, un grupo de sumandos por su total, el resultado global no varía. Demostración: Es evidente que agrupar varios sumandos, por su total dentro de una suma, no hace que haya más o menos unidades en el total genérico.

4.-Propiedad disociativa: Si un sumando lo desglosamos, en varios números, dentro de una suma, el total no varía. Demostración: Es evidente que el hecho de separar las unidades de un sumando, en varios números, dentro de una suma general, no afectará a la cantidad total de unidades de la suma genérica

5.-Propiedad variativa: Cualquier variación, que sufra uno o varios sumandos, se refleja en el total. Demostración: Es evidente que si en, uno o varios sumandos varian sus unidades, el total lo reflejará ya que este es la agrupación de los sumandos.

6.-Propiedad uniforme

Simple: Si a los dos términos de una igualdad le sumamos el mismo número la igualdad permanece.
Compuesta: Si sumamos, miembro a miembro, varias igualdades con operaciones aditívas la igualdad permanece.

Demostración: Es una evidencia que si los dos términos de una igualdad, varian al sumar un mismo número o expresión aditiva, la igualdad permanece

7.-Propiedad monótona

Simple: Si a los dos términos de una desigualdad le sumamos el mismo número la desigualdad permanece.
Compuesta: Si sumamos miembro a miembro varias desigualdades, con operaciones aditivas y el mismo sentido, la desigualdad permanece.

Demostración: Es una evidencia que si los dos términos de una desigualdad, varian al sumar un mismo número o expresión aditiva, la desigualdad permanece ya que la diferencia entre los dos términos de la desigualdad es la misma.

Propiedades especiales

1.-Propiedad elemento neutro: En toda serie numérica el número cero sumado, a cualquier otro A, dará un total A.

Demostación: Es evidente que A+0=0+A=A ya que cero carece de unidades.

2.-Propiedad elemento opuesto: En toda serie númérica (distinta de la natural) todo número A tiene un opuesto (-A) donde resultará que A+(-A)=0.

Demostración.: Es evidente que cada aumento, desde el punto de origen cero, en un sentido de una magnitud relativa, si se varía en sentido contrario, nos encontramos en el punto inicial.

3.-Propiedad Distributiva: Toda suma (A+B..etc sumandos)x N da como resultado (AxN)+(BxN)...etc N veces. Así (A+B+C)xN=(AxN)+(BxN)+(CxN).

Demostración: Sea la operación (A+B)xN=(A+B)+(A+B)+(A+B)...etc N veces=(A+A+A..N veces)+(B+B+B..N veces)+(C+C+C..N veces)=(AxN)+(BxN)+(CxN). Esta propiedad es más propia de la multiplicación que de la suma, ya que si el concepto suma no existiera, no existiría el de la multiplicación, por ser esta un caso particular de la suma.

Regla de sumar

Para sumar números es necesario tener presente la clase de números que interevienen en la suma.

Los casos que se nos pueden presentar son:

1.-Sumar números naturales entre si.

1.-Si la suma es de dos dígitos se contará a partir del primer sumando las unidades del segundo. Cuando hay más de 2 sumandos dígitos se hace la suma de los dos primeros y el subtotal se suma con el siguiente y así sucesivamente. Ejemplo 2+4+6=6+6=12. Con la práctica no hace falta contar ya que se saben de memoria todos los totales posibles con números dígitos.

2.-En el caso de números polidígitos se ponen uno debajo del otro, de tal forma, que sus ordenes homogéneos coincidan. Cuando los ordenes esten columnados se procede a sumar, orden por orden homogéneo, como hemos indicado en el apartado 1. Si al sumar algún orden homogéneo, se obtuviera un total superior a 10, se añadirá una unidad al orden inmediato superior.

Ejemplo:

3 4 5 6

2 5 5 2

----------

6 0 0 8

2.-Sumar números enteros. Se procede igual que los naturales y se tienen presente las siguientes reglas, con el signo, de los números enteros.

(+A)+(+B)=+(A+B)

(-A)+(-B)=-(A+B)

(+A)+(-B) (si A>B en valor absoluto)=+(A-B)

(+A)+(-B) (si B>A en valor absoluto)=-(B-A)

(-A)+(+B)= (Si A>B en valor absoluto)=-(A-B)

(-A)+(+B)= (si B<A en valor absoluro)=+(B-A)

Ver: Aritmética del signo operacional o numérico

3.-Sumar números fraccionarios 1.-Si las fracciones a sumar son de igual denominador se suman los númeradores y su total se pone como numerador del resultado y el denominador el mismo de los sumandos. Ejemplo (4/8)+(2/8)=(6/8)

2.-Si las fracciones son de distinto denominador se reducen los denominadores a común denominador y se procede como en el apartado 1. Ejemplo (2/3)+(3/4)= (8/12)+(9/12)=17/12. Las reglas del signo son las misma que la de los enteros, tanto para estos números como para los de rango superior.

4.-Suma de números decimales Se procede igual que los naturales poniendo los ordenes homogéneos uno debajo del otro. La coma debe caer en el mismo orden que la de los sumandos. Ejemplo 20'11+10'333=20'110+10'333=30'443

5.-Sumar números racionales

La forma de proceder sería: Transformar todos los números a fracciones y sumar según el apartado dedicado a ellas.

6.-Sumar números irracionales

Al ser lo números irracionales términos con infinitas cifras decimales, los sumaremos igual que si se trataran de estos, con la aproximación deseada y redondeando en el orden más pequeño.

Los números irracionales son fruto, generalmente, de efectuar raices sobre números primos o sobre compuestos que no dan un resultado exacto.

Ejemplo 22'3456..etc+10'1010...etc=32'4466 redondeado daría 32'447

7.-Sumar números reales

Para sumar este tipo de números se debería transformar todos los números irracionales, si los hay, a fracciones despues de haberlos redondeado al nivel deseado, despues el resto de los sumandos se transformaran también a fracciones y se operará según los criterios de ellas.

Prueba de sumar

Cuando deseamos saber si una operación está bien hecha se busca un procedimiento que nos permita tener, un alto portcentaje, de seguridad de que la operación es correcta.

Las pruebas mas usadas en la suma son:

1.-Invertir el orden de sumar los sumandos.

Si sumamos de arriba a bajo, luego sumaremos de abajo para arriba (sumas grandes con números polidígitos) y si sumamos de derecha a izquierda, despues lo haremos de izquierda a derecha (sumas cortas con números dígitos). Todo esto se basa en la propiedad conmutativa.

2.-Haciendo sumas parciales y despues sumar los subtotales. Esto se basa en la propiedad asociativa.

3.-Utilizando la prueba del 9. Esto se basa en que si un total lo dividimos por 9 y los sumandos despues, los restos con los sumandos y el total seran los mismos. Hay que tener presente que si al dividir los sumandos hay restos, tendremos que dividir la suma de los restos por 9, para que nos de un resto igual al de dividir el total de la suma por 9.

Ejemplo: 300+200=500. Si dividimos 300 por 9 tendremos que 300=(9x33)+3. Si dividimos 200 por 9 tendremos 200=(9x22)+2. Al dividir el total 500 por 9 tendremos 500=(9x55)+5. La suma de los restos de los sumandos son 3+2=5 (resto del total).

Ninguna de las pruebas ofrecen seguridad total, ya que nos podemos equivocar en la misma prueba, pero si la efectuamos con prudencia la seguridad es alta.

Cuestiones varias con sumas

Suma de progresiones aritméticas

Se llaman progresiónes aritméticas a una serie consecutiva de números, que tienen las siguientes caracteristicas:

1.-Hay un número inicial al cual consideramos origen de la sucesión numérica.

2.-Se da un número, que hay que sumar a su anterior, para obtener el siguiente; este número se llama razon de las progresiones aritméticas.

3.-Al número inicial no se le considera antecesor.

4.-Las progresiones aritméticas se las pueden considerar infinitas y finitas.

Algunos casos corrientes de progresiones aritméticas son: Sucesiones de números consecutivos naturales o enteros. Sucesiones de multiplos de un número. Sucesiones de congruencias de un número.

La suma total, de una progresión aritmética delimitada, es igual al producto del número de términos por la adición del primer más el último y luego dividiendo el resultado por 2. Demostración: Sea el número inicial A, la razón (r) y el número de términos 4, tendremos: S=A+(A+r)+(A+2r)+(A+3r).

Si invertimos la sucesión anterior tendremos S=(A+3r)+(A+2r)+(A+r)+A.

Si sumamos miembro a miembro ambas sucesiones obtenemos 4 totales iguales a la suma del primero más el último y 2S=4x(A+(A+3r)) donde S=(4x(A+(A+3r)))/2.

Siendo 4 el número de términos, al que llamaremos N, el número inicial es A y A+3r el número final, la fórmula anterior quedaría así: S=(Nx(primero+último))/2

Ejemplo: Sumar la progresion 5,10,15,20 dará 50 y la formula (4x(5+20))/2=50

Cantidad de sumas, con 2 términos, igual a un número

Si deseamos saber la cantidad de sumas diferentes que se pueden formar con un número A, tendremos que tener presente que (A-1)+1=A, (A-2)+2=A...etc 1+(A-1)=A. Como la mitad de las sumas se repiten, la cantidad total de sumas serán A/2, ignorando el resto en caso de números impares.

Ejemplo: 8 dará las siguientes sumas 7+1, 6+2, 5+3, 4+4 y apartir de ese instante se repetiran 3+5, 2+6 y 1+7, luego el total será 8/2=4.

En el caso de un número impar como el 7 tendremos 6+1, 5+2, 4+3 y apartir de aquí 3+4, 2+5, 1+6, luego el total será 7/2=3 ignorando el resto 1.

Todo número se puede descomponer en una cantidad finita de sumas. Se pueden desarrollar procedimientos para saber las que hay con tres, cuatro...etc sumandos, pero sería muy larga su explicación.

Los sumandos que pueden tener las sumas que dan un número A pueden ser 2,3,4...etc <=A, es decir un máximo expresado por su cantidad de unidades.

Referencias

Bibliografía

  • Dalmáu Carles, J.. Aritmética razonada. 
  • Marcos, C., y J. Martinez. Matemáticas. 
  • González Aguilar, Jorge. Matemáticas. 

Otras fuentes de información

Notas