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Sucesión

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Definición

Una sucesión es una función definida sobre los enteros naturales. Es costumbre emplear las letras u, v, w... para designarlas, en vez de f, g, h... que se usan para las funciones. Del mismo modo, la variable se nota usualmente n (por natural) en vez de x, habitual para las variables reales.

Por convención, se escribe un en vez de u(n) la imagen de n por la sucesión u, es decir, el término número n+1 de la sucesión u ya que el primer término es habitualmente u0.


\begin{matrix}
u:& \mathbb{N} & \to & \mathbb{R} \\
  & n          & \to & u_n
\end{matrix}
Sucesión definida explícitamente.

Existen esencialmente dos maneras de definir una sucesión: explícita o implícitamente.

Definición explícita

La definición es explícita cuando se da una fórmula que permite hallar un mediante un cálculo único donde no interviene otra variable que n. En otras palabras, un es una función de n: un = f(n).

Es el caso representado por el primer gráfico, donde la función es polinomial, los términos de la sucesión son las ordenadas de los puntos rojos cuyas abcisas son los enteros naturales.

Cuando la función f está definida también en los reales (como en la figura), el estudio de f (límite en + ∞ variaciones, extremos) permite conocer perfectamente u:

  • Si f tiende hacia l (en + ∞) entonces también lo hace u. La recíproca es errónea, como lo muestra la función f(x) = sen(2π·x), que no tiene límite mientras que un = f(n) es siempre nulo y u tiende por lo tanto hacia cero.
  • Si f es creciente en un intervalo [a; b] entonces u lo es para los valores enteros positivos del intervalo (o sea sobre [a; b] ∩ \mathbb{N}).
  • Para los extremos la cosa se complica: si los extremos de f no corresponden a valores enteros de x entonces se tiene que considerar los naturales más próximos y comparar los un correspondientes. En la figura, f tiene un mínimo relativo en el intervalo ]2; 3[, y como u2 < u3, u2 es un mínimo relativo de u. El máximo relativo de f en ]6; 7[ da dos máximos relativos de u porque u6 = u7.

Sin embargo, existen métodos para estudiar u sin estudiar f: el sentido de variación se puede determinar con el signo de un+1 - un ( si es positivo, u crece), o comparando la fracción un+1/un con 1 (apropiado cuando u es de signo constante, a ser posible positivo). Estos cálculos pueden ser más sencillos cuando f tiene una función derivada complicada.

En algunos casos, la función f que aparece en un = f(n) no puede extenderse a \mathbb{R}. Es el caso si definimos un como el número de factores propios de n por ejemplo, u otras funciones aritméticas, como la función fi de Euler o la función µ de Möbius. El estudio clásico de las funciones, mediante la derivación, es entonces imposible.

Sucesión definida por inducción.

Definición implícita

La definición es implícita cuando ... no es explicita. Esto significa que un no sólo depende de n sino también de otros términos de la sucesión que se tendrán que calcular antes.

Por ejemplo se puede fijar uo = 1 y decidir que para cualquier natural n > 0, un = n·un-1. Para hallar u3 digamos, hay que calcular u2 lo que necesita el conocimiento de u1 el cual se calcula con uo.
Obtenemos: u1 = 1×u0 = 1, luego u2 = 2×u1 = 2 y por fin u3 = 3×u2 = 6. Son los factoriales.

Otro ejemplo muy conocido es la sucesión de Fibonacci definida por un+2 = un+1 + un.

La fórmula que define un termino con relación a los anteriores se llama relación de inducción.

Cuando el término general un sólo depende del término anterior, un-1, es decir cuando existe f tal que un = f(un-1) o, lo que viene a ser lo mismo un+1 = f(un) (para todo natural n), entonces existe un método gráfico de construirla muy instructivo (ver imagen):

En un sistema de coordenadas se trazan la curva de f y la diagonal (de ecuación y = x). Se empieza por el punto de abcisa del eje horizontal uo y se sube (o baja) verticalmente hasta encontrar la curva de f. Como u1 = f(uo), la ordenada de este punto es u1. Sin embargo para obtener u2 necesitamos tener u1 en las abcisas. Por esto nos desplazamos horizontalmente hasta encontrar la diagonal. En la diagonal, abcisa y ordenanda son iguales (por su ecuación y = x), luego bajamos hasta encontrar el eje de las abcisas lo que nos permite leer el valor de u1. A partir de ahí el procesoo se repite igual, pues u2 = f(u1).

En la práctica, basta trazar la espiral o escalera entre la curva y la diagonal para evidenciar el comportamiento de la sucesión (creciente, decreciente u oscilatoria) y su eventual límite denotado l (ele): si es finito, tiene que ser la abcisa de un punto de intersección de la curva de f y de la diagonal porque tiene que verificar l = f(l), relación obtenida tomando el límite de un = f(un-1) ( con f continua). Si se acepta la notación f(+ ∞) para designar el límite en el infinito, entonces la relación anterior se extiende tal cual a los infinitos.

Supongamos f continua y derivable en l, límite potencial de la sucesión. Entonces se puede predecir su comportamiento local cerca de l, es decir, si un es próximo a l y cómo evoluciona la sucesión a partir de este término. Este comportamiento, en primera aproximación, sólo depende de f'(l), la derivada de f en l:

Sucesión punto repulsivo con oscilación.png Sucesión punto atractivo con oscilación.png
Sucesión punto atractivo con monotonía.png Sucesión punto repulsivo con monotonía.png

Los tipos de sucesiones más comunes son:

  • Las sucesiones aritméticas
  • Las sucesiones geométricas
  • Las sucesiones aritmeticogeométricas

Las sucesiones aritméticas

Una sucesión aritmética puede ser definida como función de n:

u_n = u_0 + r \cdot n \qquad (r \in \mathbb{R})

También puede ser definida por inducción de la siguiente forma:


\begin{matrix}
u_0     & = & a \qquad & (a \in \mathbb{R}) \\
u_{n+1} & = & u_n + r & (r \in \mathbb{R})
\end{matrix}

Al número real r se le denomina razón de la sucesión.

  • Si la razón es positiva, la sucesión crece, y tiende hacia + ∞.
  • Si es negativa, decrece y tiende hacia - ∞.
  • Si es nula, la sucesión es constante.

Ejemplo:

Sucesión aritmética de razón 4.

Existe una fórmula muy sencilla para sumar números en progresión aritmética (es decir términos sucesivos de una sucesión aritmética): se multiplica el término medio, que es el promedio de los términos extremos, por el número de términos. Esta suma, denominada serie aritmética toma, según el contexto, las formas siguientes:

S = \frac{\mbox{número de términos} \times \left ( \mbox{primer término} + \mbox{último término} \right ) }{2}
S = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \frac{(n+1) \times \left ( u_0 + u_n \right ) }{2}
S = u_1 + u_2 + \cdots + u_n = \frac{n \times \left ( u_1 + u_n \right ) }{2}

Como caso particular muy frecuente:   1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}

A veces lo más difícil es encontrar el número de términos para poder aplicar la fórmula. Si el primer término a sumar vale a, el último vale b, y la razón es r, entonces el número de términos en la suma es:

\frac{|b - a|}{r} + 1

Por ejemplo, para la suma: S = 1492 + 1499 + 1506 + ... 2003 de términos consecutivos de una sucesión de razón 7, encontramos:

\frac{2003 - 1492}{7} + 1 = 74  términos, y la suma es:  \frac {74 \times (1492 + 2003)}{2} = 129 315

Las sucesiones geométricas

Una sucesión geométrica puede ser definida como función de n:

u_n = b \cdot r^n \qquad (r \in \mathbb{R})

También puede ser definida por inducción de la siguiente forma:


\begin{matrix}
u_0     & = & b \qquad & (b \in \mathbb{R}) \\
u_{n+1} & = & r \cdot u_n & (r \in \mathbb{R})
\end{matrix}

Al número real r se le denomina también razón de la sucesión. A menudo se la denota q.

Ejemplo:

Sucesión geométrica de razón 2.

El comportamiento de la sucesión geométrica depende del signo del primer término y del valor de su razón.

Si la razón es positiva, entonces la sucesión es monotona, y tiene un aspecto muy regular, que se puede prolongar por una función de tipo exponencial de base r: u_n = b \cdot r^n se prolonga en f(x) = b·rx.

Se distinguen cuatro casos, como se ve en la figura siguiente; las ordenadas de los puntos negros son los valores de la sucesión, y la curva representa la función:

Sucesiones geométricas de razón positiva.

Si la razón es negativa, entonces la sucesión es oscilante. Se distinguen dos casos en función de si r es menor que -1 ó no. El signo del primer término no modifica el aspecto general de la sucesión (cambiar de signo equivale a una simetría alrededor del eje horizontal, y aquí no se nota mucho). Las potencias rn con r negativo no se generalizan a los reales, salvo convención particular, y por lo tanto no existe una función natural que prolongue la sucesión. En la figura siguiente se ha multiplicado la función |r|x por el factor cos πx para simular el cambio periódico de signo.

Sucesiones geométricas de razón negativa.

Si el término inicial es nulo, o si la razón vale -1, 0 ó 1, la sucesión no entra en la clasificación anterior, pero no importa pues en tal caso carece de interés.

Descartando estos casos particulares, se puede decir que la convergencia de la sucesión depende del valor absoluto de la razón:

si |r| > 1, no converge, y si |r| < 1, converge hacia cero.

Notemos q la razón, y supongamos q ≠ 1. Entonces la suma de números en progresión geométrica o serie geométrica está dada por la fórmula siguiente, bajo tres formas equivalentes:

S = \frac{ \mbox{primer término} - \mbox{término que sigue al último de la suma} }{1 - \mbox{razón} }
S = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = u_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1-q} = \frac{u_0 - u_{n+1}}{1-q}
S = u_1 + u_2 + \cdots + u_n = u_1 \frac{1 - q^n}{1-q} = \frac{u_1 - u_{n+1}}{1-q}

Si -1 < q < 1, la suma de todos los términos de la sucesión es: S = \frac{u_0}{1 - q}

Las sucesiones aritmeticogeométricas

Es, como lo indica su nombre, una mezcla de las dos definiciones anteriores. Se pueden definir por inducción de la siguiente forma:


\begin{matrix}
w_0     & = & c \qquad \quad \ & (c \in \mathbb{R}) \quad \\
w_{n+1} & = & q \cdot w_n + r  & (q, r \in \mathbb{R})
\end{matrix}

La fórmula de inducción hace intervenir la suma de la sucesión aritmética, y el producto de la sucesión geométrica.

Descartemos los casos q = 1 (sucesión aritmética) y r = 0 (sucesión geométrica). Entonces se puede afirmar que el comportamiento de la sucesión es de tipo geométrico, y determinado por q, y que su carácter aritmético solo aparece como una translación.

Más precisamente, sea l el único número que verifica l = ql + r.

Si w0 = l (lo que equivale a w1 = w0 ) entonces w será una sucesión constante. Si no es fácil ver que v1 = wn - l es una sucesión geométrica (no nula) de razón q, y que por lo tanto:

si |q| > 1, w no converge (porque no lo hace v)
si |q| < 1, w converge hacia l (porque v tiende hacia 0).

Lógicamente, la clasificación del párrafo anterior según los valores de q sigue siendo válida si trasladamos las curvas verticalmente l unidades.


Autor: M.Romero Schmidtke

Referencias

Fuentes empleadas y notas