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[escribe] I Introducción

La teoría de los subconjuntos difusos o flojos (palabras intercambiables en este contexto) fue desarrollada por L.Zadeh en 1965 con el fin de representar matemáticamente la imprecisión intríseca de ciertas categorías de objetos. Los subconjuntos flojos (o partes flojas de un conjunto) fueron inventados para modelizar la representación humana de los conocimientos ( p. ej para medir nuestra ignorancia o una imprecisión objectiva) y mejorar así los sistemas de decisión, de ayuda a la decisión, y de inteligencia artificial. Participan al auge de estas ramas de la informática.

[escribe] II Definición

Una parte floja o difusa, o un subconjunto difuso, es un conjunto que puede contener elementos de forma parcial, es decir que la propiedad xεA puede ser cierta, falsa o solamente posible. Se mide esta posibilidad de pertenecer (o pertenencia) con un número μ_A(x) entre 0 y 1, llamado grado de pertenencia de x a A. Si es 0, x no pertenece a A, si es 1, entonces xεA, totalmente, y si 0< μ_A(x) <1, x pertenece a A de una manera parcial.

Un subconjunto A de B es por lo tanto caracterizado por esta función de pertencia μ_A, de B hacia [0;1]. Es preciso fijar el conjunto B para definir la función μ_A que a su vez define A. Por eso se habla de subconjunto difuso, y no de conjunto difuso.

Habrán notado que μ_A es una proposición en el contexto de la lógica difusa o floja, y no de la lógica usual binaria, que sólo admite dos valores: cierto o falso.

[escribe] III Otros conceptos

• El núcleo de una parte difusa A es el conjunto de los elementos x que pertenecen totalmente a A, es decir que verifican μ_A(x) = 1.
• El soporte de una parte floja A es el conjunto de los x que pertenecen, aunque muy poco, a A, es decir que verifican μ_A(x) ≥ 0.
• Sean A y B dos partes flojas del conjunto C. Se dice que A está incluido en B si para todo x de C, tenemos μ_A(x)≤ μ_B(x), es decir que los elementos de A siempre pertenecen en mayor medida a B que a A.
• Partiendo de subconjunto difuso A, se puede definir la familia de los conjuntos clásicos A_t , con t variando en [0;1], por :

A_t = { x ε B /μ_A(x) ≥ t }. El conocimiento de esta familia define totalmente A.

Por lo tanto, Una parte floja equivale, en concepto de información, a una familia infinita no enumerable de partes clásicas. La teoría de los subconjuntos difusos es por lo tanto muy distinta y mucho más compleja que la teoría de los conjuntos usuales. Por ejemplo, un conjunto finito clásico tiene un número finito de subconjuntos clásicos, pero un número infinito de subconjuntos flojos.

Autor: M.Romero Schmidtke