Sección cónica

Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice.

En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:

• β < α  : Hipérbola (azul)
• β = α  : Parábola (verde)
• β > α  : Elipse (morado)
• β = 90º : Círculo (rojo)

Si el plano pasa por el vértice del cono, como fácilmente se puede comprobar:

• Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
• Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).
• Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice. El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, hasta alcanzar el máximo (α) cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).

Estas secciones degeneradas no se consideran secciones cónicas.

Expresión algebraica.

En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:

ax² + 2hxy + by² +2gx + 2fy + c = 0

en la que, en función de los valores de los parámetros, tendremos:

h² = ab : parábola.

h² < ab : elipse.

a = b y h = 0 : círculo.

h² > ab : hipérbola.

a + b = 0, la ecuación representará una hipérbola rectangular.

Referencias

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Excentricidad

Notas