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Rotación (matemáticas)

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En el plano

rotación de centro Ω y de ángulo θ.
La imagen del punto A es A'

La rotación de centro Ω y de ángulo θ es la transformación del plano que deja fijo a Ω y que asocia a todo punto M el punto M' tal que:

 \begin{cases} ( \overrightarrow {\Omega  M}, \overrightarrow{\Omega M'} ) = \theta \quad [2\pi] \\ \Omega M' = \Omega M  \end{cases}

donde θ es un ángulo orientado (o algebraico) definido módulo 2π radianes o 360°. La imagen por rotación de una figura es la figura obtenida al hacer girar todos sus puntos; como lo muestra el dibujo: El hombrecito cuyo pie derecho está en A es enviado en A'.

La rotación no cambia las distancias - es una isometría - luego conserva el tamaño de las figuras; también conserva los ángulos. Lo único que altera es la orientación global de una figura.

Construcción del centro y del ángulo de la rotación a partir de dos puntos y de sus imágenes

A partir de dos puntos y de sus imágenes se puede determinar el centro y el ángulo de la rotación: El centro, siendo equidistante de un punto y de su imagen, se encuentra sobre las mediatrices de los segmentos [AA'] y [BB'] (en rojo y verde en la figura), luego es su intersección.

El ángulo θ se puede obtener después de haber construido Ω con
 ( \overrightarrow {\Omega  A}, \overrightarrow{\Omega A'} ) = \theta
o sin conocer Ω utilizando el que un segmento y su imagen se apartan según el ángulo θ:
 ( \overrightarrow {AB}, \overrightarrow{A'B'} ) = \theta
(en azul en la figura).
Prueba:
 \begin{matrix} ( \overrightarrow {\Omega  A'}, \overrightarrow{\Omega B'} ) & =  & ( \overrightarrow {\Omega  A'}, \overrightarrow{\Omega A} ) & + &  ( \overrightarrow {\Omega  A}, \overrightarrow{\Omega B} ) & + & ( \overrightarrow {\Omega  B}, \overrightarrow{\Omega B'} ) \\
 &  = & - \  \theta & + & ( \overrightarrow {\Omega  A}, \overrightarrow{\Omega B} ) & + &  \theta \\
 & = & ( \overrightarrow {\Omega  A}, \overrightarrow{\Omega B} )
\end{matrix}
Luego, sabiendo que ΩA' = ΩA y ΩB' = ΩB , se deduce que los triángulos ΩAB y ΩA'B' son isométricos (mismas longitudes, mismos ángulos). En particular AB = A'B' lo que prueba que la rotación conserva todas las longitudes; y
( \overrightarrow {AB}, \overrightarrow{A \Omega } ) = ( \overrightarrow {A'B'}, \overrightarrow{A' \Omega } )
, ángulo denotado γ.
Entonces
 \begin{matrix} ( \overrightarrow {AB}, \overrightarrow{A'B'} ) & =  & ( \overrightarrow {AB}, \overrightarrow{A \Omega} ) & + &  ( \overrightarrow {A \Omega}, \overrightarrow{A' \Omega} ) & + & ( \overrightarrow {A' \Omega}, \overrightarrow{A' B'} ) \\
 &  = &  \gamma & + & ( \overrightarrow {A \Omega}, \overrightarrow{A' \Omega} ) & - &   \gamma \\
 & = & ( \overrightarrow {A \Omega}, \overrightarrow{A' \Omega} ) 
 & = & ( \overrightarrow {\Omega A}, \overrightarrow{ \Omega} A' )
 & =  \theta
\end{matrix}