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Rotación (matemáticas)

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En el plano

rotación de centro Ω y de ángulo θ.
La imagen del punto A es A'

La rotación de centro Ω y de ángulo θ es la transformación del plano que deja fijo a Ω y que asocia a todo punto M el punto M' tal que:

donde θ es un ángulo orientado (o algebraico) definido módulo 2π radianes o 360°. La imagen por rotación de una figura es la figura obtenida al hacer girar todos sus puntos; como lo muestra el dibujo: El hombrecito cuyo pie derecho está en A es enviado en A'.

La rotación no cambia las distancias - es una isometría - luego conserva el tamaño de las figuras; también conserva los ángulos. Lo único que altera es la orientación global de una figura.

Construcción del centro y del ángulo de la rotación a partir de dos puntos y de sus imágenes

A partir de dos puntos y de sus imágenes se puede determinar el centro y el ángulo de la rotación: El centro, siendo equidistante de un punto y de su imagen, se encuentra sobre las mediatrices de los segmentos [AA'] y [BB'] (en rojo y verde en la figura), luego es su intersección.

El ángulo θ se puede obtener después de haber construido Ω con
o sin conocer Ω utilizando el que un segmento y su imagen se apartan según el ángulo θ:
(en azul en la figura).
Prueba:
Luego, sabiendo que ΩA' = ΩA y ΩB' = ΩB , se deduce que los triángulos ΩAB y ΩA'B' son isométricos (mismas longitudes, mismos ángulos). En particular AB = A'B' lo que prueba que la rotación conserva todas las longitudes; y
, ángulo denotado γ.
Entonces