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Resta

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Como descripción rápida y genérica de la resta se puede enunciar lo siguiente:

La resta es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética, y se trata básicamente de la operación inversa a la suma. Por ejemplo, si a+b=c, entonces c-b=a.

En la resta, el primer número se denomina minuendo, el segundo es el sustraendo y el resultado se denomina diferencia.

En el conjunto de los números naturales, N, sólo se pueden restar dos números, si el minuendo es mayor que el sustraendo. De lo contrario, la diferencia sería un número negativo, que por definición estaría excluido del conjunto natural. Esto es así para otros conjuntos con ciertas restricciones, como los números reales positivos.

En matemáticas avanzadas no se habla de "restar" sino de "sumar el opuesto". En otras palabras, no se tiene a - b sino a + (-b), donde -b es el elemento opuesto de b respecto de la suma.

Definiciones

La resta, dentro del campo de los números naturales, se puede definir de varias formas. Algunas de ellas son:

1.-Restar es quitar una cantidad de unidades a un número y calcular las unidades restantes.

2.-Restar es hallar las unidades que le faltan a un número para ser igual a otro.

3.-Restar de un número A otro número B, es buscar un número C que sumado a B de A, es decir, que A=B+C.

Las dos primeras definiciones no vienen bien al campo de los números enteros o superores. La tercera definición es más genérica y cuadra con todas las series de números.

Otra forma de definir la resta, en el conjunto de los números enteros, sería:

4.-Hayar la distancia en unidades de un número a otro.

Ejemplo: (-3)-(+5) la distancia en la serie entera es (-8). La distancia entre (-18)-(-2)=(-16)

Dentro de la serie entera o superior el opuesto de un número A es (-A). Luego restar sería sumar a un número el opuesto de otro. Así A-B=A+(-B). De todo esto podemos enunciar otra definición, de la resta, que sería:

5.-Restar de un número A otro B es sumar a A el opuesto de B que es (-B).

Términos

Los términos integrantes de una resta son: minuendo, sustraendo y diferencia.

Dentro del campo de los números naturales:

El minuendo es el total del que se quitan las unidades que tiene otro.

El sustraendo es lo que se resta al minuendo.

La diferencia es lo que hay que añadir al sustraendo para que de el minuendo.

Dentro del campo de los números enteros o superiores:

El minuendo es el número al que tiene que llegar otro, en unidades, añadiendole un tercer número.

Sustraendo es el número que sumado a otro da el minuendo.

Diferencia es el número que resulta de restar al minuendo el sustraendo.

Luego si de A queremos restar B, de tal forma, que A=B+C; A será el minuendo, B el sustraendo y C la diferencia.

Unos ejemplos prácticos serian: 8-6=2 ya que 8=6+2, (-9)-(+2)=(-11) ya que (-9)=2+(-11)...etc.

Representación de la resta

Si tenemos dos número A y B, deseando restar B de A, se indicaría así: A-B o bien A+(-B). Este método es típico de restas con números dígitos.

Cuando los números son muy grandes (polidígitos), se pone el minuendo encima del sustraendo y se procede al cálculo de la diferencia.

Una vez hayado el resultado, se indicarían las precedentes operaciones, de la siguiente forma: A-B=C ó A+(-B)=C en forma de columna.

Propiedades básicas

Las propiedades principales de la resta son:

1.-Propiedad fundamental: La suma del sustraendo con la diferencia da el minuendo. Demostración: Se la resta M-S=D, como la distancia , en unidades, entre M y S es D entonces S+D=M.

2.-Propiedad del minuendo: Si al minuendo se le suma o resta un número, la diferencia queda sumada o restada por el mecionado número. Demostración: Sea la resta M-S=D donde M=S+D, si a A le añadimos N unidades la distancia de S a M aumenta y si restamos disminuye; resultando que (M+N)-S=D+N y (M-N)-S=D-N.

3.-Propiedad del sustraendo: Si aumentamos o disminuimos el sustraendo, en un número, la diferencia disminuye o aumenta en el mencionado número.. Demostración: Sea la resta M-S=D donde M=S+D; si añadimos N unidades a S la distancia en unidades a M se acorta y en el caso de restar aumenta. Luego M-(S+N)=D-N y M-(S-N)=D+N.

4.-Propiedad de diferencia nula: Si el minuendo y el sustraendo aumentan o disminuyen, en un mismo número, la diferencia no varía. Demostración: Sea la resta M-S=D y N el número que sumamos o restamos a M y S. Luego (M+N)-(S+N)=(M-S)+(N-N)=(M-S)+0=D.

5.-Propiedad uniforme: Si a los dos miembros de una igualdad, se le resta un mismo número u operación aritmética, la igualdad permanece. Demostración: Como cada miembro de una igualdad representan a un mismo número, es evidente que todo aumento o disminución, que se efectuen en ambos lados de una igualdad, no afectará a la igualdad ya que hemos hecho la misma variación a los dos miembros de la igualdad que representan el mismo número.

6.-Propiedad monótona:

Simple: Si a los dos miembros de una desigualdad le restamos un mismo número la desigualdad permanece en el mismo sentido.

Demostración:Sea A>B en C, si restamos N unidades, a ambos miembros, tendremos que A=B+C y (A-N)=(B+C)-N según propiedad uniforme de la suma. De lo dicho se deduce que A-N=B-N+C resultando que A-N>B-N en C unidades.

Compuesta: Si restamos miembro a miembro dos desigualdades, del mismo sentido, con expresiones sustractivas podemos obtener los

siguientes resultados:

1.-Si la diferencia de las desigualdades son iguales dará una igualdad.

2.-Si la diferencia de la desigualdad minuendo es mayor que la de la desigualdad sustraendo, el sentido no varía.

3.-Si la diferencia de la desigualdad minuendo es menor que la de la desigualdad sustraendo, el sentido si varía.

Demostraciones:

Caso 1).- Sea las desigualdades A-B>C-D en X unidades y E-F>G-H en X unidades, tendremos que A-B=C-D+X y E-F=G-H+X. Si sumamos miembro a miembro tendremos que (A-B)-(E-F)=(C-D)-(G-H)+X-X=(C-D)-(G-H)-0=(C-D)-(G-H).

Caso 2).- Sea las desigualdades A-B>C-D en X+A unidades y E-F>G-H en X unidades, tendremos que A-B=C-D+X+A y E-F=G-H+X. Si sumamos miembro a miembro tendremos que (A-B)-(E-F)=(C-D)-(G-H)+X+A-X=(C-D)+A-(G-H)+0 donde (A-B)-(E-F)>(C-D)-(G-H) en A unidades, no cambiando en sentido de la desigualdad.

Caso 3).- Sea las desigualdades A-B>C-D en X unidades y E-F>G-H en X+A unidades, tendremos que A-B=C-D+X y E-F=G-H+X+A. Si sumamos miembro a miembro tendremos que (A-B)-(E-F)=(C-D)-(G-H)+X-X-A=(C-D)-(G-H)+0-A donde (A-B)-(E-F)<(C-D)-(G-H) en A unidades, al cambiando en sentido de la desigualdad.

Regla para hacer restas

Resta de números naturales

Para restar dos números dígitos basta buscar un número que sumado al sustraendo de el minuendo. Ejemplo 8-2 se busca un número que sumado a 2 de 8 y este es el 6, luego 8-2=6.

Para restar dos número polidígitos se pone un número encima del otro con las unidades del mismo orden unas debajo de las otras y despues se procede a restar orden a orden. Puede suceder que algún orden del minuendo sea inferior al del sustraendo, en este caso, del orden, inmediatamente superior, se coge una unidad (que son 10 de la del orden inferior) y se suma al orden del minuendo y se procede a restar normalente.

Resta de números enteros La resta de enteros se hace igual que la de los naturales pero teniendo presente las siguientes reglas con los signos.

(+A)-(+B)=(+A)+(-B)=+(A-B) si A>B ó -(B-A) si B>A

(-A)-(-B)=(-A)+(+B)=-(A-B) si A>B ó +(B-A) si B>A

(-A)-(+B)=(-A)+(-B)= -(A+B)

(+A)-(-B)=(+A)+(+B)=+(A+B)

Ver: Aritmética del signo operacional o numérico

Resta de números fraccionarios Para restar fraccionarios se utilizan las reglas del signo igual que la de los enteros.

Si dos fracciones tienen el mismo denominador, la fracción diferencia tendrá por numerador la diferencia de los numeradores y como denominador el común a las fracciones minuendo y sustraendo.

Si las fracciones tienen distinto denominador se reducen estos a uno comun y se procede igual que las líneas anteriores.

Resta de números decimales

Se procede como si fueran naturales poniendo los ordenes homogéneos uno debajo del otro e igualando en cifras la parte decimal. De esta forma la coma caerá en la misma columna de todos los términos de la resta.

Resta de números racionales

Se transformaran los términos a la naturaleza de la serie númerica de mayor amplitud y se operará, según sean los términos, como los apartados ya explicados. La amplitud de las series naturales van por este orden: natural, entera, fraccionaria, racional y real.

Resta de números irracionales

Los números irracionales se opera como los decimales y redondeamos al nivel decimal que nosotros deseemos.

Resta de números reales

Se transforman sus términos al de mayor nivel y se opera, según sean los números, como los casos anteriores.

Prueba de la resta

Las pruebas más utilizadas son:

1.-Utilizando la propiedad fundamental que dice: el minuendo es igual al sustraendo más la diferencia. Una vez hecha una resta, para hacer su prueba, sumamos al sustraendo la diferencia y si nos da el minuendo es que está bien.

2.-Utilizar la prueba del 9, que consistiria en dividir el minuendo, sustraendo y diferencia por 9; despues se comprueba si el resto del minuendo es igual al resto de dividir por 9 la suma de los restos del sustraendo y la diferencia.

Ejemplo: 55-23=32 los restos serian: 55=(9x6)+1 (minuendo), 23=(9x2)+5 (sustraendo), 32=(9x3)+5 (diferencia) la resta de 5+5=10=(9x1)+1 que es el resto del minuendo. En realidad se procede igual que si fuera una suma, siendo el resultado el minuendo y los sumandos el sustraendo y la diferencia.

Cuestiones varias con restas

Restas que dan un mismo número

Sabiendo que la propiedad de diferencia nula dice: que si sumamos o restamos, un mismo número, al minuendo y al sustraendo la diferencia no varía; podemos inferir que son infinitos. Asi el número 8 lo dará las siguientes restas: 9-1, 10-2, 11-3, 12-4...etc al infinito.

Diferencia de dos enteros opuestos

Si tenemos (+A) y (-A) su resta será (+A)-(-A)=(+A)+(+A) ya que restar enteros es sumar al minuendo al opuesto del sustraendo y por consiguiente (+A)-(-A)=(+A)+(+A)=2A pudiendo enunciar: La resta de los enteros opuestos cuyo minuendo sea positivo es igual al doble del valor absoluto de los enteros con signo positivo.

Si tenemos (-A) y (+A) su resta será (-A)-(+A)=(-A)+(-A) ya que restar enteros es sumar al minuendo al opuesto del sustraendo y por consiguiente (-A)-(+A)=(-A)+(-+A)=-2A pudiendo enunciar: La resta de los enteros opuestos cuyo minuendo sea negativo es igual al doble del valor absoluto de los enteros con signo negativo.

Diferencia entre cero y un entero

Si deseamos restar 0-(+A) tenemos que buscar un número entero que sumado a (+A) de 0, siendo ese número (-A) ya que (+A)+(-A)=0 Si deseamos restar 0-(-A)=0+(+A)=A según lo dicho en la cuestión anterior se deduce: La diferencia entre cero y un número entero da el mismo entero con signo distinto.

Referencias

Fuentes empleadas y notas

Bibliografía

  • Dalmáu Carles, J.. Aritmética razonada. 
  • Marcos, C., y J. Martinez. Matemáticas. 
  • González Aguilar. Matemáticas. 

Otras fuentes de información