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Una relación de equivalencia sobre K es una relación matemática ～ que cumple las siguientes propiedades:

• Es reflexiva: ∀ a ∈ K, a ~ a
• Es simétrica: a ~ b ⇒ b ~ a
• Es transitiva: a ~ b, b ~ c ⇒ a ~ c

[escribe] Ejemplos

• La igualdad es la relación de equivalencia básica.

• Para toda función f tenemos x ~_f y si y sólo si f(x) = f(y).

• Toda relación de equivalencia proviene del caso anterior usando, por ejemplo, la función de pase al cociente [x] = [y].

• Un ejemplo de relación de equivalencia es la relación de congruencia módulo M en el conjunto de los números enteros. Entonces, sea a ~ b si y sólo si b - a es múltiplo de M. Esta relación es de equivalencia porque:
  • Es reflexiva: a - a = 0, que es múltiplo de M.
  • Es simétrica: si a - b es múltiplo de M, entonces b - a = -(a - b) también es múltiplo de M.
  • Es transitiva: sean k y l números enteros tales que a - b = M k y b - c = M l. Entonces, a - c = (a - b) + (b - c) = M k + M l = M(k + l) y por tanto un múltiplo de M.
    • En particular, si M = 2 tenemos la tradicional clasificación en pares e impares.
    • Si M = 12 tenemos la, así llamada, aritmética del reloj.

[escribe] Referencias

Notas