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Recta de Euler

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Teorema:

Sea ABC un triángulo, G su baricentro, O su circuncentro, y H su ortocentro.
Entonces estos tres puntos están alineados.
La recta que los contiene se llama recta de Euler (en rojo en la figura).

Prueba:

Se construye al rededor de ABC un triángulo A'B'C' tal que A, B y C sean los centros de [B'C'], [A'C'] y [A'B'] respectivamente, y que los catetos sean dos por dos paralelos: (A'B') // (AB) ...

No es difícil ver que estos dos triángulos comparten las mismas medianas y por tanto el mismo baricentro. Además las alturas de ABC son las mediatrices de A'B'C', por consiguiente H es el circuncentro de A'B'C'. Sea h la homotecia de centro G y de razón -2. Entonces h(A) = A', h(b) = B' y h(C) = C', como propiedad del baricentro del triángulo (G está situado en las medianas a dos tercios del camino a partir de los vértices).

Las homotecias conservan entre otras cosas la equidistancia; en consecuencia conservan también las mediatrices y el circuncentro, en el sentido que la imagen del circuncentro de ABC es el circuncentro de la imagen del triángulo ABC, aquí de A'B'C'; o sea h(O) = H, por lo tanto tenemos la igualdad de vectores:

$\vec{GH} = -2\vec{GO}$