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Radicación

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La radicación es la operación que consiste en buscar un número que multiplicado, por si mismo una cantidad de veces, resulte otro número determinado.

Así si tenemos un número A y deseamos hallar su raiz B, consistiría en buscar un número C, que cumpliera la condición de que CxCxCxC......etc B veces=A; que puesto de otra forma C^b=A.

Se ve facilmente que radicar es una operación inversa de la potenciación, donde se da el total y el exponente y se quiere hallar la base.

Otra operación inversa de la potenciación es la logaritmación, donde dado un total y la base se desea hayar el exponente.

Términos

Los términos de la radicación son: el radicando, el indice radical y la raiz.

El radicando es cualquier número dado del que deseamos hayar la raiz.

El indice radical indica las veces que hay que multiplicar por si mismo un número para obtener el radicando.

La raiz es el número que multiplicado por si mismo las veces que indica el indice radical da el radicando.

Representación

La forma de representar la radicación es la siguiente:

Dado un radicando A, un indice radical B y una raiz C, donde se cumple que C^B=A se indicaria de la siguiente forma \sqrt[b]{A}=C.

El grafismo para indicar una raiz se llama signo radical

Representación en forma potencial de una radicación

Sabemos que una potencia fraccionaria N/D de un número R es igual a la siguiente igualdad: R^{n/d}=(\sqrt[d]{R})^n según la propiedad de potencia de un exponente fraccionario.

Un número elevado al exponente 1 es el mismo número ya que A^1=A.

Una potencia A^{1/D} es igual la raiz D del número A elevado a 1, es decir (\sqrt[d]{A})^1=\sqrt[d]{A}).

Como una raiz elevada a 1 da la misma raiz, esto no servira para deducir que toda raiz N de un radicando R, es una potencia de base R elevada a 1/N.

Ejemplo: \sqrt[2]{25}=25^{1/2}

En realidad las propiedades de la radicación son las mismas que la de la potenciación pero con exponente fraccionario.

Clases de raices más utilizadas

Las raices más utilizadas son la cuadrada y la cúbica.

La raiz cuadrada es aquella donde un número multiplicado por si mismo dos veces da un radicando determinado.

Ejemplo: 25^{1/2}=\sqrt[2]{25}=5

La raiz cúbica es aquella donde un número multiplicado por si mismo tres veces da un radicando determinado.

Ejemplo: 8^{1/3}=\sqrt[3]{8}=2

Propiedades de radicación de operaciones

Radicación de una multiplicación

La raiz N de una multiplicación es igual a la multiplicación de las raices de todos los factores con indice radical N.

DEMOSTRACIÓN:

Sea la radicación \sqrt[I]{AxB}=C que puesta en forma potencial sería (AxB)^{1/I}=C y que según la propiedad de potencia de un producto, que dice: la potencia de un producto es igual al producto de los factores elevedos al mismo exponente. De lo enunciado resultaría (AxB)^{1/I}=A^{(1/I)}xB^{(1/I)}=C y como  A^{1/I}=\sqrt[I]{A} y  B^{1/I}=\sqrt[I]{B} resultará que \sqrt[I]{AxB}=(\sqrt[I]{A})x(\sqrt[I]{B})=C

Ejemplo: \sqrt[2]{64x16}=\sqrt[2]{64}x\sqrt[2]{16}=8x4=32

Radicación de una división

La raiz N de una división es igual a la división de las raices del dividendo con indice radical N dividido por el divisor con el mismo indice radical.

DEMOSTRACIÓN:

Sea la radicación \sqrt[I]{A/B}=C que puesta en forma potencial sería (A/B)^{1/I}=C y según la propiedad de potencia de una división, que dice: la potencia de una división es igual al cociente de las potencia del dividendo dividido por el divisor elevados al mismo exponente. De lo dicho resultaría: (A/B)^{1/i}=(A^{1/i})/(B^{1/i})=C y como  A^{1/I}=\sqrt[I]{A} y  B^{1/I}=\sqrt[I]{B} resultará que \sqrt[I]{A/B}=(\sqrt[I]{A})/(\sqrt[I]{B})=C

Ejemplo: \sqrt[2]{64/16}=\sqrt[2]{64}/\sqrt[2]{16}=8/4=2

Radicación de una potencia

La raiz de una potencia es otra potencia, con la misma base, que tiene por exponente una fracción de denominador el indice radical y numerador el exponente de la potencia.

DEMOSTRACIÓN:

Sea la operación \sqrt[H]{(B^N)}=C que puesto en forma potencial sería (B^N)^{(1/H)}=C que según la propiedad de potencia de una potencia, es igual a la misma base elevada al producto de los exponentes, que indicariamos así: (B^N)^{1/H}=B^{Nx(1/H)}= B^{(N/H)}=C

Ejemplo: \sqrt[2]{(5^4)}=5^{4/2}=5^2=25

Radicación de una raiz

La raiz N de un radicando P con indice radical H es un otra raiz de P cuyo indice radical es NxH.

DEMOSTRACIÓN:

Sea la operación \sqrt[N]{\sqrt[H]{P}}=C que puesto en forma potencial sería (P^{(1/H)})^{(1/N)}=C que según la propiedad de potencia de una potencia, es igual a la misma base elevada al producto de los exponentes, que indicariamos así: (P^{(1/H)})^{(1/N)}=P^{(1/NxH)}=C y como una potencia de indice fraccionario cuyo númerador sea la unidad es igual a la raiz de la base con un indice radical del denominador. Luego podemos inferir que  P^{(1/NxH)}=\sqrt[NxH]{P}=C

Ejemplo: \sqrt[4]{\sqrt[2]{6561}}=\sqrt[8]{6561}=3

Propiedades de operaciones con raices

Multiplicación de dos raices con un mismo radicando

La multiplicación de dos raices con un mismo radicando es igual a una raiz fraccionaria, con el mismo radicando, que tiene por númerador la suma de los indices radicales y por denominador el producto de ellos.

Sea la operación (\sqrt[N]{P})x(\sqrt[M]{P})=C tendremos que puesto en forma potencial seria la siguiente equivalencia P^{(1/N)}xP^{(1/M)}=C, resultando la propiedad del producto de potecias de una misma base que dice: el producto de potencias de una misma base es otra potencia de la misma base con exponente igual a la sumade los exponenes. Como la suma de (1/N)+(1/M)=(M+N)/(NxM) y si suponemos que M+N=J y NxM=Y podremos indicar que (\sqrt[N]{P})x(\sqrt[M]{P})=P^{(J/Y)}=C

Ejemplo: \sqrt[2]{16} x \sqrt[4]{16}=16^{(6/8)}=16^{(3/4)}=(\sqrt[4]{16})^3=2^3=8

División de raices con un mismo radicando

La división de dos raices con un mismo radicando es igual a una raiz fraccionaria, con el mismo radicando, que tiene por númerador la resta de los indices radicales y por denominador el producto de ellos.

Sea la operación (\sqrt[N]{P})/(\sqrt[M]{P})=C tendremos que puesto en forma potencial seria la siguiente equivalencia P^{(1/N)}/P^{(1/M)}=C, resultando la división de potecias de una misma base que dice: el cociente de potencias de una misma base es otra potencia de la misma base con exponente igual a la resta de los exponenes. Como la resta de (1/N)-(1/M)=(M-N)/(NxM) y si suponemos que M-N=D y NxM=P podremos indicar que (\sqrt[N]{P})/(\sqrt[M]{P})=P^{(D/P)}=C

Ejemplo: \sqrt[2]{16} / \sqrt[4]{16}=16^{(2/8)}=16^{(1/4)}=(\sqrt[4]{16})=2

Potenciar una raíz con un exponente igual al índice radical

La potencia N de un radicando R con indice radical N tiene como resultado el radicando R.

DEMOSTRACIÓN:

Si tenemos la operación (\sqrt[n]{R})^n=H donde (\sqrt[n]{R})=C entonces tendremos que (\sqrt[n]{R})^n=\sqrt[n]{R}x\sqrt[n]{R}x\sqrt[n]{R})...etc N veces=CxCxC...etc N veces y sustituyendo (\sqrt[n]{R}) por C resultará que (\sqrt[n]{R})^n=H=C^n=R donde H=R que es lo que deseabamos demostrar.

Potenciación de una raiz

Una raiz elevada a un exponente es igual otra potencia con base igual al radicando y exponente el cociente de dividir el exponente por el indice radical.

DEMOSTRACIÓN:

Sea la raiz \sqrt[n]{A} que elevada al exponente M, lo representariamos así:

(\sqrt[n]{A})^m=T. Como (\sqrt[n]{A})^n=A según propiedad anterior, el resultado será tantas veces A como da el cociente entre M/N; pudiendo indicar:

(\sqrt[n]{A})^m=A^{m/n} que es lo que deseabamos demostrar.

Ejemplo:(\sqrt[2]{(8})^4=\sqrt[2]{8}x\sqrt[2]{8}x\sqrt[2]{8}x\sqrt[2]{8}=8^2=64

Cuestiones varias de radicación

Radicación de un radicando positivo con indice radical natural par

La radicación de un número positivo con un indice radical natural par tiene dos resultados, con el mismo valor absoluto, pero uno es positivo y el otro negativo.

Sabemos que:

(+A)x(+A)=+A^2 si multiplicamos un conjunto de factores (+A)x(+A) siempre dará un número positivo.

(-A)x(-A)=+A^2 si multiplicamos un conjunto de factores (-A)x(-A) siempre dará un número positivo.

Sabiendo que una raiz A elevada a un indice radical P da un radicando +R, resultará que esa raiz tiene un resultado positivo y otro negativo, si el indice radical P es par, ya que los factores (+A)x(+A) ó (-A)x(-A) estarian incluidos exactamente en +R, al ser +R=(+A)x(+A)x(+A)x(+A)...etc P/2 veces y tambien +R=(-A)x(-A)x(-A)x(-A)...etc P/2 veces. .

Ejemplo: \sqrt[2]{16}=(+4) y \sqrt[2]{16}=(-4) ya que (+4)^2=16 y (-4)^2=16

Radicación de un radicando positivo con indice radical natural impar

La radicación de un número positivo con un indice radical natural impar solo tiene una raiz positiva.

Sabemos que una serie de factores positivos multiplicados por si mismo da un número positivo, tanto si la cantidad de factores son pares como impares. Así (+A)x(+A)x(+A)......etc N veces=+A^n

Si tenemos un producto de factores negativos, cada producto de dos factores da un total positivo, luego si la cantidad de factores es impar el total será negativo.

Sea un número natural impar I y la raiz \sqrt[I]{+R}=C donde se tendrá que +R=CxCxC...etc I veces y según lo enunciado en las líneas precedentes C tiene que ser positivo y no negativo para dar +R.

Ejemplo: \sqrt[3]{27}=(+3) y si fuera negativo tendriamos que (-3)x(-3)x(-3)=(-27) dando un radicando negativo.

Radicación de un radicando negativo con indice radical natural par

Un radicando negativo no tiene raiz si su indice radical es par

Como un producto de factores positivos, tanto si la cantidad es par como impar, da un número positivo y una serie par de factores negativos da par; un radicando negativo con indice radical par no tendrá raiz.

Ejemplo: \sqrt[2]{-16}=(Sin__Raiz) ya que si fuera (+4) daría (+4)x(+4)=(+16) y si fuera (-4)x(-4)=(+16) y nunca daría (-16)

Radicación de un radicando negativo con indice radical natural impar

La raiz de un radicando negativo, con indice radical impar, será negativa

Como multiplicar una cantidad par de veces un número cualquiera (-A), da un total positivo (+T) y si ese total (+T) lo multiplicamos otra vez por (-A), la cantidad de factores será impar, con un resultado (+T)x(-A)=+Total, según las reglas del signo de los números enteros.

Ejemplo: \sqrt[3]{-27}=(-3) ya que (-3)x(-3)x(-3)=(+9)x(-3)=(-27)

Radicación de un radicando natural par

La raiz de un radicando par será siempre par y viceversa.

DEMOSTRACIÓN:

Sea un número par P cuya raiz N sea \sqrt[n]{P}=C como C^n=CxCxC...N veces=P si C no fuera par sería impar y un producto consecutivo de impares dará impar y por tal motivo C tendrá que ser par, ya que el radicando P es par.

Radicación de un radicando natural impar

La raiz de un radicando impar será siempre impar y viceversa.

DEMOSTRACIÓN:

Sea un número impar I cuya raiz N sea \sqrt[n]{I}=C como C^n=CxCxC...N veces=I si C no fuera impar sería par y un producto consecutivo de pares dará par y por tal motivo C tendrá que ser impar, ya que el radicando I es impar.

Referencias

Fuentes empleadas y notas

Bibliografía

  • Dalmáu Carles, J.. Aritmética razonada. 
  • Marcos, C., y J. Martinez. Matemáticas. 
  • González Aguilar, Jorge. Matemáticas. 

Otras fuentes de información