La Enciclopedia Libre Universal en Español dispone de una lista de distribución pública, enciclo@listas.us.es

Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.

Definición: n puntos del plano son cocíclicos si existe un círculo que pase por todos ellos.

Para n = 1 y n = 2, siempre es el caso. Para n = 3, es equivalente decir que tres puntos son cocíclicos que decir que no son alineados. Esta noción sirve esencialmente para n = 4, pues existen muchas propiedades relativas a cuatro puntos cocíclicos.

Un segmento cuyas extremidades están en un círculo dado se llama cuerda de éste.

Teorema 1: Ángulo en el centro

Sean A, B y C tres puntos cocíclicos, y O el centro del círculo que pasa por A, B y C (O es el circuncentro, o centro del círculo circumscrito al triángulo). Entonces, si C y O están del mismo lado de la cuerda [AB], el ángulo <AOB> es el doble del ángulo <ACB>.

Si C cruza la cuerda, su ángulo se cambia por su suplementario.

Prueba:

Al completar la figura con el segmento [OC] se obtiene tres triángulos isósceles: AOB, AOC y BOC, porque OA = OB = OC (radio del círculo). Considerando ABC, se da la igualdad 2α + 2β + 2γ = π (radianes).

<ACB> = α + β por una parte, y por otra parte: <AOB> = π - 2γ (triángulo AOB) = 2α + 2β (triángulo ABC) = 2(α + β ) = 2 <ACB>.

Si γ = 0 entonces [AB] es un diámetro del círculo, el ángulo en O mide π y el en C mide la mitad: π/2, es decir que es un ángulo recto. Esto se conoce como teorema de Tales.

En el segundo caso, <AC'B> = α + β , y 2α + 2β + 2γ = 2π (en el cuadrilátero OAC'B) lo que da al dividir por 2: <AC'B> = π - γ que es el suplementario de <ACB> = γ.

Primera consecuencia:

Teorema 2:

En un cuadrilátero inscrito en un círculo, los ángulos opuestos son suplementarios.

Basta con tomar las diagonales como cuerdas, y aplicar el teorema precedente.

Segunda consecuencia:

Teorema 3: Ángulo constante

Sean A, B, C y D cuatro puntos cocíclicos, colocados en este orden en el círculo. Entonces tenemos la igualdad de ángulos: <ACB> = <ADB>

Prueba: Ambos ángulos miden el doble del ángulo al centro <AOB>.

Dicho de otro modo, si se considera la cuerda [AB], y un punto móvil que recorre el círculo quedándose del mismo lado con relación a [AB], entonces el ángulo <AMB> es constante. Se dice que se ve [AB] desde M bajo un ángulo constante. Tomando otra cuerda, se obtiene otra igualdad: por ejemplo, con [BC]: <BAC> = <BDC>.

Una aplicación de todos estos teoremas se encuentra en la demostración relativa a la recta de Simson.

Autor: M.Romero Schmidtke