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Proporcionalidad

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La proporcionalidad es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitivo y de uso muy común.

Primer ejemplo: La receta de un pastel indica que para cuatro personas se necesitan 200 gramos de harina, 150 de mantequilla, cuatro huevos y 120 gramos de azúcar. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas?

Según varios estudios, la mayoría de la gente calcularía las cantidades para una persona (dividiendo por cuatro) y luego las multiplicaría por el número de real de personas, cinco. Una minoría no siente la necesidad de pasar por las cantidades unitarias (es decir por persona) y multiplicaría los números de la receta por \frac 5 4 = 1,25 (lo que equivale a añadir una cuarta parte a los valores iniciales). El pastel con cinco huevos, 250 gramos de harina y 187,5 gramos de mantequilla y 150 de azúcar tendrá el mismo sabor que el otro, si el cocinero aficionado se muestra tan bueno como el chef que escribió la receta.

Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al número de personas, y se representa este situación mediante una tabla de proporcionalidad:

primer ejemplo de proporcionalidad


Más generalmente, se dice que los números y_1, y_2 ... y_n \  (en el ejemplo, la segunda línea de la tabla) son proporcionales a x_1, x_2 ... x_n \  si existe un coeficiente k no nulo ( 5 \over 4 en el ejemplo) tal que
y_1 = k\cdot x_1, y_2= k\cdot x_2 \quad...\quad y_n= k\cdot x_n \

variables proporcionales relacionados por una función lineal


Si se consideran x_1, x_2 ... x_n \  e y_1, y_2 ... y_n \ como valores de variables x \ e y \ , entonces se dice que estas variables son proporcionales; la igualdad
y = k\cdot x \
significa que y es una función lineal de x.
La representación gráfica de esta función es una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Una variación (incremento o decremento) de x da lugar a una variación proporcional de y (y recíprocamente, puesto que k≠0:
y = \frac 1 k \cdot x \
):
\Delta y = k \cdot \Delta x \

Son las funciones más sencillas que existen y las primeras que se estudian en clase de matemáticas, con alumnos de trece años aproximadamente.

La relación «Ser proporcional a» es reflexiva ( toda variable es proporcional a si misma, con el coeficiente 1), simétrica (cuando y es proporcional a x entonces x lo es a y, con el coeficiente inverso) y transitiva (si x es proporcional a y, e y a z, entonces x lo es con z, multiplicando los coeficientes); por lo cual es una relación de equivalencia. En particular dos variables proporcionales a una tercera serán proporcionales entre si).

La tabla del primer ejemplo se puede descomponer en tres de formato dos por dos:

tres tablas de proporcionalidad 2x2

por tanto las propiedades de la proporcionalidad se ilustran preferentemente con tablas de cuatro casillas.

tres maneras de ver la proporcionalidad

Para establecer que una tabla es proporcional, se puede:

1) verificar que la segunda columna es múltiple de la primera, (primera tabla: para pasar de la primera casilla a la segunda, hay que multiplicar por  b \over a; en la segunda línea se tiene que multiplicar por  d \over c, luego estas fracciones deben ser iguales para obtener columnas proporcionales)
2) verificar que la segunda línea es múltiple de la primera (segunda tabla, con un raciocinio parecido) o
3) verificar la igualdad de los productos cruzados: a·d = b·c. (tercera tabla: las igualdades anteriores equivalen a a·d = b·c, cuando no hay valores nulos, que por cierto no tienen un enorme interés en este contexto).

Para encontrar el cuarto valor de una tabla proporcional, por ejemplo el valor d conociendo a, b y c, se utiliza:

d = \frac {b \times c} a = \frac \mbox{producto de la diagonal opuesta} \mbox{elemento conocido de la misma diagonal}

Este cálculo recibe el nombre de regla de tres, y se suele enseñar a alumnos de diez años aproximadamente.


Segundo ejemplo: Dos albañiles construyen un muro de doce metros de superficie en tres horas; ¿Qué superficie construirán cinco albañiles en cuatro horas?

Hay dos parámetros que influyen en la superficie construida: El número de albañiles y el tiempo de trabajo. No hay que resistir a la tentación de aplicar dos veces la proporcionalidad, pero eso sí, explicitando las hipótesis subyacientes.

Afirmar que el trabajo realizado es proporcional al número de albañiles equivale a decir que todos los obreros tienen la misma eficacia al trabajo (son intercambiables); y afirmar que la superficie es proporcional al tiempo de trabajo supone que el rendimiento no cambia con el tiempo: los albañiles no se cansan (descansan regularmente, con pausas pequeñas).

proporcionalidad múltiple

Admitiendo estas dos hipótesis, se puede contestar a la pregunta pasando por una etapa intermedia: ¿Qué superficie construirían dos albañiles en cuatro horas? El parámetro "número de albañiles" tiene un valor fijo, luego se aplica la proporcionalidad con el tiempo (subtabla roja). La superficie construida será multiplicada por 4 \over 3. Luego, fijando el parámetro tiempo a cuatro horas, y variando él del número de obreros de 2 a 5, la superficie será multiplicada por 5 \over 2 (la subtabla azul es proporcional).

El resultado final es
12 \times \frac 4 3 \times \frac 5 2 = 40
metros cuadrados.

La proporcionalidad múltiple se resuelve así, multiplicando por los coeficientes correspondientes a cada factor:

caso general de la proporcionalidad múltiple

Tercer ejemplo: Dos automovilistas recorren exactamente el mismo camino. Al primero le ha faltado dos horas y media para llegar al destino, rodando a una velocidad promedia de 70 kilómetros por hora. El segundo rueda a 100 km/h. ¿Cuánto tiempo ha tardado en llegar?

Mayor velocidad tenga uno, menor tiempo durará el viaje. Si se multiplica por dos la velocidad, la duración del viaje será dividida por dos. Aquí, claramente el tiempo del recorrido no es proporcional a la velocidad sino justamente lo contrario: es inversamente proporcional, es decir proporcional a la inversa de la velocidad.
Esto permite responder a la pregunta:

ejemplo de proporcionalidad inversa

cambiando una multiplicación por una división (primera tabla) o aplicando la proporcionalidad con la inversa de la velocidad (segunda tabla). El tiempo será 2,5 \times \frac 7 {10} = 1,75, es decir una hora y 45 minutos.

Más generalmente, si una variable y es inversamente proporcional a otra variable x, se puede aplicar la proporcionalidad con 1 \over x , o más bien utilizar la siguiente equivalencia:

método para la proporcionalidad inversa

Es decir que el producto de los valores correspondientes (aquí en la misma línea) es constante. En el ejemplo: 70 × 2,5 = 100 × 1, 75 = 175 km, que es sencillamente la longitud del recorrido.


Autor: M.Romero Schmidtke