Producto vectorial

El producto vectorial es una operación binaria en el espacio vectorial tridimensional usual R³ que asocia a dos vectores

$\vec u , \vec v$

del mismo un tercero, denotado

$\vec u \times \vec v$

o a veces

$\vec u$

^

$\vec v$

.

Hay varias maneras de definirlo.

Definición algebraica

En un sistema ortonormal y directo de coordenadas, el producto de los vectores $\vec u \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ y $\vec v \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}$ es:

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y\cdot z'-y'\cdot z \\ z\cdot x' - z'\cdot x \\ x\cdot y'-x'\cdot y \end{pmatrix}$

Para recordar esta fórmula, nótese que cada coordenada es un determinante de orden dos, es decir una diferencia de productos cruzados. En la primera coordenada no aparece la x sino y e z, en la segunda no aparece la y sino z y x (en este orden), en la tercera falta previsiblemente la z.
Además la fórmula sigue válida si se hace la permutación circular x→y→z→x - denotada habitualmente (x,y,z).

Para recordarse de esta fórmula, se suele escribir lo que sigue:

, donde se añade una x en cuarta coordenada, aplicando la simetría circular, y los productos cruzados de dos líneas se colocan en la coordenada no utilizada.

Definición geométrica

Sea P un plano que contenga los dos vectores

$\vec u$

y

$\vec v$

. Si estos no son colineales, el plano es definido de manera única, sino cualquier plano convendrá (pues de todos modos el producto será nulo). Sea

$\vec n$

un vector normal (ortogonal y unitario) al plano P tal que la base

$( \vec u, \vec v, \vec n )$

sea directa, es decir orientada en el mismo sentido que la base

$( \vec i, \vec j, \vec k )$

del sistema de coordenadas. Entonces se define el producto vectorial como:

$\vec u \times \vec v = || \vec u ||\cdot ||\vec v|| \cdot \mbox{sen } \theta \cdot \vec n$

donde θ es el ángulo geométrico (es decir positivo) entre los vectores

$\vec u$

y

$\vec v$

.

Coherencia

Puesto que se han dado dos definiciones apartentemente sin relación del mismo objeto, es necesario verificar que son equivalentes. Vamos a demostrar que el vector definido algebraicamente es ortogonal a los vectores iniciales y que tiene la norma (longitud) adecuada, es decir la dada por la definición geométrica.

Notemos

$\vec w = \vec u \times \vec v$

.
El producto escalar entre

$\vec u$

y

$\vec w$

es:

$\begin{matrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y\cdot z'-y'\cdot z \\ z\cdot x' - z'\cdot x \\ x\cdot y'-x'\cdot y \end{pmatrix} & = & x(yz'-y'z)+ y(zx'-z'x) + z(xy'-x'y) \\ & = & xyz'-xy'z+x'yz-xyz'+xy'z-x'yz \\ & = & (xyz'-xyz') + (xy'z-xy'z) + (x'yz-x'yz) =0 \end{matrix}$

El cálculo es muy parecido con el segundo vector y da el mismo resultado, por tanto se puede afirmar que

$\vec w$

es a la vez ortogonal con

$\vec u$

y con

$\vec v$

, por tanto con el plano P que los contiene.
Para hallar la norma de

$\vec w$

, vamos a utilizar el producto escalar de

$\vec u$

y

$\vec v$

, que sabemos ser igual al producto de las normas por el coseno:

$\vec u \cdot \vec v = || \vec u ||\cdot ||\vec v|| \cdot \cos \theta$

Vamos a establecer que la expresión geométrica de la norma es igual a la fórmula algebraica. La presencia del coseno y del seno sugiere pasar por los cuadrados:

$( ||\vec u ||\cdot ||\vec v||\cdot \mbox{sin }\theta)^2 = ||\vec u ||^2 \cdot ||\vec v||^2\cdot \mbox{sin}^2\theta = ||\vec u ||^2 \cdot ||\vec v||^2\cdot (1 - \cos^2\theta) = ||\vec u ||^2 \cdot ||\vec v||^2 - ||\vec u ||^2 \cdot ||\vec v||^2\cos^2\theta$ $= ||\vec u ||^2 \cdot ||\vec v||^2 - (\vec u \cdot \vec v)^2 = (x^2+y^2+z^2)\cdot(x'^2+y'^2+z'^2)- (xx'+yy'+zz')^2$
Luego, si se desarrolla la expresión, se obtiene:
$x^2x'^2+x^2y'^2+x^2z'^2+x'^2y^2+y^2y'^2+y^2z'^2+x'^2z^2+y'^2z^2+z^2z'^2 \$(el primer producto)
$- (x^2x'^2+y^2y'^2+z^2z'^2+2xx'yy'+2xx'zz'+2yy'zz') \$ (el cuadrado)
Tres pares de términos se anulan, y queda:
$=x^2y'^2+x^2z'^2+x'^2y^2+y^2z'^2+x'^2z^2+y'^2z^2- 2xx'yy'-2xx'zz'-2yy'zz' \$
Se reagrupan términos que utilizan dos de las tres letras, y luego se factoriza:
$=(x^2y'^2-2xx'yy'+x'^2y^2)+ (x^2z'^2-2xx'zz'+x'^2z^2)+(y^2z'^2-2yy'zz'+y'^2z^2) \$
$=(xy'-x'y)^2+(zx'-z'x)^2+(yz'-y'z)^2 = || \vec u \times \vec v ||^2$ de la expresión algebraica.
Tomando la raíz cuadrada, se obtiene la igualdad de las normas del producto definido geométricamente con el definido algebraicamente.

Para obtener la identidad de las definiciones, sólo falta demostrar que la base $( \vec u, \vec v, \vec w )$ es directa a partir de su expresión algebraica. Esto se logra calculando el determinante

$det(\vec u, \vec v, \vec w)$

. El cálculo efectivo da como resultado: $\begin{bmatrix} x & x' & yz'-y'z \\ y & y' & zx'-z'x \\ z & z' & xy'-x'y \end{bmatrix} = (xy'-x'y)^2 + (yz'-y'z)^2 + (zx'-z'x)^2 = || \vec u \times \vec v ||^2$

Lo que no puede ser casual. En vez de detallarlo, esperemos a la definición teórica que lo explicará de forma mucho más elegante.

Definición teórica

Se ha visto que determinantes de orden dos o tres se invitan diversos cálculos. Lo mejor es pues entender de entrada que relación hay entre el producto vectorial y el determinante, para luego sacarle provecho. Las coordenadas de producto vectorial aparecen al desarrollar un determinante de orden tres según una columna: concretamente, según la tercera columna de está matriz:

$\begin{bmatrix} x & x' & x'' \\ y & y' & y'' \\ z & z' & z'' \end{bmatrix} = (yz'-y'z)x'' + (zx'-z'x)y'' + (xy'-x'y)z''= \begin{pmatrix} yz'-y'z \\ zx'-z'x \\ xy'-x'y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \\ z'' \end{pmatrix}$ Algo de teoría: sean los vectores $\vec u \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, $\vec v \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}$ y $\vec w \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \\ z'' \end{pmatrix}$, que son las columnas de la matriz anterior. El determinante es una aplicación multilineal, es decir lineal para con todos sus argumentos. En particular, si se fijan los vectores

$\vec u$

y

$\vec v$

, el determinante dependerá linealmente del tercer vector

$\vec w$

.

La aplicación restringida:

$\begin{matrix} det: & \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & \vec w & \longmapsto & det(\vec u, \vec v, \vec w) \end{matrix}$

es lineal y por consiguiente de la forma:

$\begin{matrix} f: & \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R} & \\ & \vec w \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} & \longmapsto & ax & + by + cz = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \vec {\nabla} l \cdot \vec w \end{matrix}$

, donde $\vec \nabla f$ es el gradiente de la aplicación f.

Comparando con el desarrollo del determinante se llega naturalmente a la siguiente definición:

El producto vectorial es el gradiente del determinante (vista como aplicación lineal para con su tercer vector, luego de sus tres coordenadas), es decir que verifica la relación:

$det ( \vec u, \vec v, \vec w) = (\vec u \times \vec v) \cdot \vec w$

Consecuencia:

• Como
  $det ( \vec u, \vec v, \vec u \times \vec v) = (\vec u \times \vec v) \cdot (\vec u \times \vec v) = ||\vec u \times \vec v||^2 > 0$
  , la base $( \vec u, \vec v, \vec u \times \vec v )$ es directa lo que acaba la demostración de la equivalencia de los puntos de vista geométrico y algebraico.

Propiedades

• Como todo producto, el producto vectorial es bilineal, es decir distributivo sobre la adición (de vectores) y más generalmente sobre la combinación lineal, a la izquierda y la derecha:
  

(Con la adición) $(\vec u + \vec v) \times \vec w = \vec u \times \vec w + \vec v \times \vec w$
(Con el producto por un escalar) $(\lambda \vec u) \times \vec v = \lambda (\vec u \times \vec v) = \vec u \times (\lambda \vec v)$ vector denotado $\lambda \vec u \times \vec v$
(Con una combinación lineal, del otro lado) $\vec u \times (\lambda \vec v + \mu \vec w) = \lambda \vec u \times \vec v + \mu \vec u \times \vec w$

• No es conmutativo como el producto de los números usuales (enteros, reales, complejos) sino todo lo contrario: es antisimétrico: $\vec v \times \vec u = - \vec u \times \vec v$, propiedad similar a la del determinante. En particular $\vec v \times \vec v = 0$, del mismo modo que un determinante con dos columnas iguales vale cero.
• Es asociativo (como el producto de matrices y sus determinantes).
• El producto vectorial aparece en los cuaterniones: El producto de dos cuaterniones imaginarios (es decir de parte real nula) tiene como componente imaginario el producto vectorial (y como parte real el producto escalar cambiado de signo).

Aplicaciones

• En física: La fuerza que un campo magnético ejerce sobre una corriente es dada por
  $\vec F = k\vec B \times \vec i$
  , donde k es un coeficiente de proporcionalidad que depende de las unidades elegidas, y
  $\vec i$
  es el vector que indica la dirección y el sentido de la corriente así como su intensidad. Recíprocamente, el campo magnético creado por una corriente se calcula con el producto vectorial de la corriente por el vector posición.

• El producto vectorial permite determinar muy rapidamente la ecuación de un plano del espacio a partir de un punto del mismo y de dos vectores contenidos en él.
  

Por ejemplo, sean A( 1; 3; -2) ,

$\vec u$

( 2; 1; 1) ,

$\vec v$

( -1; -2; 4) un punto y dos vectores.

El plano que pasa por A y contiene estos dos vectores será ortogonal al vector $\vec u \times \vec v = \vec w$ ( 6; -9; -3).

Un punto cualquiera M( x; y; z) pertenece al plano si el vector

$\vec {AM}$

( x - 1; y - 3; z + 2) es ortogonal a

$\vec w$

, lo que se escribe: $\begin{pmatrix} x-1 \\ y-3 \\ z+2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -9 \\ -3 \end{pmatrix} = 0$, es decir 6(x - 1) - 9(y - 3) - 3(z + 2) = 0, y finalmente: 6x - 9y - 3z =  -15.

Autor: M.Romero Schmidtke