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Producto cartesiano

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El producto cartesiano (en honor a su inventor, René Descartes) de dos conjuntos es el conjunto de los pares cuyo primer elemento pertenece a A y cuyo segundo elemento pertenece a B.Formalmente:

 A \times B = \{ (a, b), \ a  \in A, \ b \in B \}

Por ejemplo: Sea C = { basto, oro, copa, espada} y V = {1, 2, 3, ... 13}, entonces V × C = { (1, basto), (2, basto) ... (1, oro), ... (13, espada) }, es decir que V × C es el conjunto de todos los naipes (13 corresponde al rey).

El cardenal - o sea el número de elementos - del producto cartesiano es el producto de los cardenales de los conjuntos: |A × B| = |A|·|B|.
En el ejemplo anterior, 4 colores por 13 valores dan 52 naipes.

Por inducción inmediata, el producto se generaliza a un número cualquiera de conjuntos: Se define A × B × C por (A × B) ×C, o por A × (B × C), que es lo mismo pues el producto cartesiano es naturalmente asociativo, y más generalmente:

 A_1 \times A_2 \times  ... \times A_n = \{ (a_1, a_2 , ...,  a_n), \ a_1  \in A_1, \ a_2 \in A_2 , \ ... \ , a_n \in A_n \}

Se admite la notación potencial:
\begin{matrix}
   A^n = \underbrace{A \times A \times ... \times A}\\
   \qquad  \mbox{ n veces}
  \end{matrix}

Ejemplos:

\mathbb{R}^2
es el plano real usual,
\mathbb{R}^3
es el espacio tridimensional usual, visto como un conjunto de puntos o de vectores.


Se puede aún más generalizar el producto cartesiano a un número infinito de conjuntos:
\prod_{n \in \mathbb{N} } A_n
es el conjunto de las suceciones
 (a_n)_{ n \in \mathbb{N} }
, con
 a_n \in A_n
, para todo n entero natural.

El interés teórico del producto cartesiano es enorme: con él se construye conjuntos cada vez más elaborados a partir de conjuntos sencillos. Otra operación muy productiva, que se parece a una división de conjuntos, es el cociente de un grupo por un subgrupo, o de un espacio vectorial por un subespacio, o un álgebra por una subálgebra ...


Autor: M.Romero Schmidtke