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Producto cartesiano

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El producto cartesiano (en honor a su inventor, René Descartes) de dos conjuntos es el conjunto de los pares cuyo primer elemento pertenece a A y cuyo segundo elemento pertenece a B.Formalmente:

Por ejemplo: Sea C = { basto, oro, copa, espada} y V = {1, 2, 3, ... 13}, entonces V × C = { (1, basto), (2, basto) ... (1, oro), ... (13, espada) }, es decir que V × C es el conjunto de todos los naipes (13 corresponde al rey).

El cardenal - o sea el número de elementos - del producto cartesiano es el producto de los cardenales de los conjuntos: |A × B| = |A|·|B|.
En el ejemplo anterior, 4 colores por 13 valores dan 52 naipes.

Por inducción inmediata, el producto se generaliza a un número cualquiera de conjuntos: Se define A × B × C por (A × B) ×C, o por A × (B × C), que es lo mismo pues el producto cartesiano es naturalmente asociativo, y más generalmente:

Se admite la notación potencial:

Ejemplos:

es el plano real usual,
es el espacio tridimensional usual, visto como un conjunto de puntos o de vectores.


Se puede aún más generalizar el producto cartesiano a un número infinito de conjuntos:
es el conjunto de las suceciones
, con
, para todo n entero natural.

El interés teórico del producto cartesiano es enorme: con él se construye conjuntos cada vez más elaborados a partir de conjuntos sencillos. Otra operación muy productiva, que se parece a una división de conjuntos, es el cociente de un grupo por un subgrupo, o de un espacio vectorial por un subespacio, o un álgebra por una subálgebra ...


Autor: M.Romero Schmidtke