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La potenciación es una de las tres operaciones superiores de la aritmética, junto con la radicación y la logaritmación

[escribe] Definición

Potenciar es multiplicar un número por si mismo una cantidad de veces.

La potenciación es un caso particular de la multiplicación con varios factores.

[escribe] Términos

Los términos de la potenciación son: la base, exponente y total.

La base de una potencia es el número que multiplicamos repetidas veces por si mismo.

El exponente son las veces que hay que multiplicar la base.

El total es el resultado de multiplicar la base, por si mismo, tantas veces como indica el exponente.

[escribe] Representación

Para indicar una operación de potenciación de AxAxA...etc B veces=T se indicaría así: A^b = T, donde A es la base, B el exponente y T el total.

[escribe] Propiedades de potenciación de operaciones

[escribe] Potencia de una multiplicación

Una multiplicación elevada a un exponente es igual al producto de cada factor elevado al mencionado exponente.

DEMOSTRACIÓN:

Sea la multiplicación (AxBxC) elevada al exponente N, que representariamos así: (AxBxC)ⁿ = T.

(AxBxC)ⁿ = (AxBxC)x(AxBxC)x(AxBxC)...etc N veces y que según la propiedad multiplicar varios productos entre si, daría la siguiente igualdad:

(AxBxC)ⁿ=(AxA..etc N veces)x(BxB..etc N veces)x(CxC..etc N veces)=T donde el factor A, B y C se repite como factor N veces cada uno, resultando que (AxBxC)ⁿ = AⁿxBⁿxCⁿ que es lo que deseabamos demostrar.

Ejemplo:(4x5)² = (4x5)x(4x5) = 4x4x5x5 = 4²x5² = 400

[escribe] Potencia de una división

Una división elevada a un exponente es igual al cociente del dividendo elevado al mismo exponente por el divisor elevado al antedicho exponente.

DEMOSTRACIÓN:

Sea la división (A/B) elevada al exponente N, que representariamos así: (A / B)ⁿ = C.

(A / B)ⁿ = (A / B)x(A / B)x(A / B)...etc N veces y que según la propiedad multiplicar varias divisiones entre si, daría la siguiente igualdad:

(A / B)ⁿ=(AxA..etc N veces)/(BxB..etc N veces)=C donde el factor A y B se repite como factor N veces cada uno, resultando que (A / B)ⁿ = Aⁿ / Bⁿ que es lo que deseabamos demostrar.

Ejemplo:(4 / 2)² = (4 / 2)x(4 / 2) = (4x4) / (2x2) = 4² / 2² = 4

[escribe] Potencia de una potencia

Una potencia elevada a un exponente es igual a la base de la potencia elevada al producto de los exponentes.

DEMOSTRACIÓN:

Sea la potencia Aⁿ elevada al exponente M, que representariamos así: (Aⁿ)^m = T.

(Aⁿ)^m = (Aⁿ)x(Aⁿ)x(Aⁿ)...etc M veces y donde el número A entra como factor N veces primero y ese total, M veces despues, resultando que A se multiplica, como factor, una cantidad de veces NxM. Pudiendo deducir que (Aⁿ)^m = A^NxM, que es lo que deseabamos demostrar.

Ejemplo: (2³)² = (2x2x2)² = (2x2x2)x(2x2x2) = 2⁶ = 64

[escribe] Potenciar una raiz a un exponente igual a su indice radical

Una raiz elevada a un exponente igual a su indice radical da el radicando.

DEMOSTRACIÓN:

Sea la raiz elevada al exponente N; resultará que el radicando A es dividido sucesivamente por C un total N veces para hayar C y despues C se ha multiplicado por si mismo N veces para llegar al radicando A, ya que es el proceso inverso. Luego se puede inferir que

Ejemplo: Raiz cuadrada de 64 es 8 y 8 elevado al cuadrado es 64.

[escribe] Potencia de una raiz

Una raiz elevada a un exponente es igual otra potencia con base igual al radicando y exponente el cociente de dividir el exponente por el indice radical.

DEMOSTRACIÓN:

Sea la raiz que elevada al exponente M, lo representariamos así:

. Como según propiedad anterior, el resultado será tantas veces A como da el cociente entre M/N; pudiendo indicar:

que es lo que deseabamos demostrar.

Ejemplo:

[escribe] Propiedades de operar con potencias

[escribe] Producto de potencias de una misma base

El producto de potencias de una misma base es otra potencia de la misma base con exponente igual a la suma de los exponentes

DEMOSTRACIÓN:

Sean las potencias AⁿxA^m = T, resultará que Aⁿ = (AxAxA..etc N veces) y A^m = (AxAxA...etc M veces) y sustituyendo a T por esas equivalencias da AⁿxA^m = (AxAxA..etc N veces)x(AxAxA...etc M veces) donde el factor A se repite N+M veces y sería igual a (AⁿxA^m) = A^{n + m} que es lo que deseabamos demostrar.

Ejemplo 5⁴x5² = (5x5x5x5)x(5x5) = (5x5x5x5x5x5) = 5^{4 + 2} = 5⁶ = 15625.

[escribe] División de potencias de una misma base

El cociente de potencias de una misma base es otra potencia de la misma base con exponente igual a la resta de los exponentes

DEMOSTRACIÓN:

Sean las potencias Aⁿ / A^m) = T, resultará que Aⁿ = (AxAxA..etc N veces) y A^m = (AxAxA...etc M veces) y sustituyendo a T por esas equivalencias da Aⁿ / A^m = (AxAxA..etc N veces)/(AxAxA...etc M veces) donde cada factor A del dividendo es dividido por otro del divisor (según propiedad de dividir dos potencias) y las veces que A quedará como factor será N-M veces y equivaldría a Aⁿ / A^m) = A^{n − m} que es lo que deseabamos demostrar.

Ejemplo 5⁴ / 5² = (5x5x5x5) / (5x5) = 5x5 = 5^{4 − 2} = 5² = 25.

[escribe] Producto de potencias de un mismo indice

El producto de potencias de un mismo indice es igual a un producto de factores formado por las bases de las potencias y el total del producto elevado al mismo exponente.

DEMOSTRACIÓN:

Sean las potencias AⁿxBⁿ = T, resultará que Aⁿ = (AxAxA..etc N veces) y Bⁿ = (BxBxB...etc N veces) y sustituyendo a T por esas equivalencias da AⁿxBⁿ = (AxAxA..etc N veces)x(BxBxB...etc N veces) donde cada factor (AxB) se repite como factor N veces dando AⁿxBⁿ) = (AxB)ⁿ donde se ve que el producto de potencias de un mismo indice es igual al producto de factores elevado a un mismo exponente.

Ejemplo 5²x5² = (5x5x5x5) = (5x5)² = 625.

[escribe] División de potencias de un mismo indice

La división de potencias de un mismo indice es igual al cociente de las bases elevado al mismo indice.

DEMOSTRACIÓN:

Sean las potencias Aⁿ / Bⁿ = T, resultará que Aⁿ = (AxAxA..etc N veces) y Bⁿ = (BxBxB...etc N veces) y sustituyendo a T por esas equivalencias da Aⁿ / Bⁿ = (AxAxA..etc N veces)/(BxBxB...etc N veces) donde cada factor (A/B) se repite como factor N veces dando Aⁿ / Bⁿ = (A / B)ⁿ donde se ve que la división de potencias de un mismo indice es igual a una división elevada a un mismo exponente.

Ejemplo: 10² / 5² = (10x10) / (5x5) = (10 / 5)² = 4

[escribe] Logaritmo de una potencia

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

DEMOSTRACIÓN:

Sea Log_bH^m = T, como H^m = (HxHxH...M veces) y como el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores; tendremos que Log_bH^m = Log_bH + Log_bH + Log_bH..etc M veces=MxLog_bH que es lo que deseabamos demostrar.

[escribe] Propiedades especiales

[escribe] Potencia de exponente cero

Una potencia elevada a exponente cero es uno.

DEMOSTRACIÓN:

Si tenemos las potencias A^m / A^m = 1 ya que dividendo y divisor son iguales. La operación A^m / A^m = 1 también equivalente a A^{m − m} = A⁰ = 1 según propiedad de la división de potencias de una misma base.

[escribe] Potencia de exponente negativo

Una potencia de exponente negativo es igual a la unidad dividida por la mencionada potencia.

Si tenemos las potencias Aⁿ / A^m donde N<M en C unidades, resultará que N=M+(-C) y el cociente Aⁿ / A^m = A^{n − m} = A ^{− c} de esto se deducira las siguientes igualdades A ^{− c} = (AxA / ..etc N veces)/ (AxA..etc N veces)x(AxA..etc C veces) ya que M=N+C.

Según la propiedad de división de productos tendremos que:

A ^{− c} = (AxA..etc N veces)/ (AxA..etc N veces)x(AxA..etc C veces)=1 / A^c ya que dividendo y un factor del divisor son iguales dando como cociente 1 y en el denominador queda el otro factor que es A^c y esto es lo que deseabamos demostrar.

[escribe] Potencia de exponente fraccionario

Una potencia de exponente fraccionario es igual a un radicando, igual a la base de la potencia, con indice radical igual al denominador del exponente y esa raiz elevada a un exponente como el numerador.

Si tenemos la operación donde M<N, según la propiedad de potencia de una raiz, la operación y como M<N ese exponente es una fracción donde se producierá la equivalencia que es lo que deseabamos demostrar.

[escribe] Cuestiones varias con potencias

[escribe] Potencia de un número par

Las potencia de un número par dará siempre un número par.

DEMOSTRACIÓN:

Sea un número par P, luego Pⁿ = T como Pⁿ = (PxPxP...N veces) y (Par)x(Par)=(Par) el resultado T será par.

[escribe] Potencia de un número impar

Las potencia de un número impar dará siempre un número impar.

DEMOSTRACIÓN:

Sea un número impar I, luego la potencia Iⁿ = T como Iⁿ = (IxIxI / ...N veces) y (Impar)x(Impar)=(Impar) el resultado T será impar.

[escribe] Potencia de una base negativa

La potencia de un número negativo y exponente par da un total positivo y si el exponente es impar el total será negativo.

DEMOSTRACIÓN:

Si tenemos un número negativo (-N) y lo multiplicamos por si mismo dará (-N)x(-N)=+(NxN), luego ( − N)^m = T donde M es par, los factores se podran agrupar en grupos de (-N)x(-N)=+(NxN), resultando las siguientes equivalencias que ( − N)^m = ( + N²)^{m / 2} = + T ya que ( + N²)x( + N²)..etc veces, es igual a un total positivo, según las reglas del signo de los números enteros.

En el caso de ser M impar el anterior resultado daria la siguiente equivalencia ( − N)^m = ( + N²)x( + N²)...etc (m-1)/2 veces)x(-N) que es igual a un total negativo según las reglas del signo con números enteros.

[escribe] Cuadrado de una suma simple

El cuadrado de una suma simple es igual al cuadrado del primer sumando, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo sumando.

DEMOSTRACIÓN:

Sea la suma (A + B)² = T donde (A + B)² = (A + B)x(A + B) = A² + (AxB) + (BxA) + B² que se transformaría en (A + B)² = A² + (2x(AxB)) + B² que es lo que deseabamos demostrar.

Para más conocimientos sobre potencia de sumas ver: Potenciación de sumas

[escribe] Cuadrado de una resta

El cuadrado de una resta es igual al cuadrado del minuendo, menos el doble del minuendo por el sustraendo, más el cuadrado del sustraendo.

DEMOSTRACIÓN:

Sea la resta (A − B)² = T donde (A − B)² = (A − B)x(A − B) = A² − (AxB) − (BxA) + B² que se transformaría en (A − B)² = A² − (2x(AxB)) + B² que es lo que deseabamos demostrar.

[escribe] Referencias

Bibliografía

• Dalmáu Carles, J.. Aritmética razonada. 
• Marcos, C., y J. Martinez. Matemáticas. 
• González Aguilar, Jorge. Matemáticas. 
  

Otras fuentes de información

• Artículo sobre la potenciación en Wikipedia.
• Articulo en Wikiversidad.

Notas