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Postulados de Euclides

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El libro de los Elementos de Euclides, escrito hacia el año 300 adC, expone los conocimientos geométricos de la Grecia clásica deduciéndolos a partir de cinco postulados, considerados como los más evidentes y sencillos:

  1. Desde cualquier punto se puede trazar una recta a cualquier otro punto.
  2. Toda recta se puede prolongar indefinidamente.
  3. Con cualquier centro y cualquier distancia se puede trazar un círculo.
  4. Todos los ángulos rectos son iguales.
  5. Si una recta, cortando a otras dos, forma los ángulos internos a una misma parte menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de la parte en que los dos ángulos son menores que dos rectos.

El primero de ellos lo usa Euclides no sólo en el sentido de que por dos puntos pasa una recta, sino de que ésta es única, porque tal unicidad era el noveno de sus axiomas. Es verosímil que este axioma esté intercalado, y algunos consideran que debe colocarse entre los postulados, complementando al primero. El cuarto postulado, que pudiera parecer algo oscuro a una mentalidad moderna, es usado por Euclides en el sentido de que cualquier ángulo recto puede superponerse sobre cualquier otro.

En términos actuales estos postulados podrían entenderse como sigue: El primero y el tercero, al afirmar la posibilidad de trazar rectas y círculos, apuntan directamente a la estructura subyacente. Hoy en día la estructura más natural que hace posibles los conceptos de distancia y curva con dirección constante es la de superficie riemanniana. El cuarto afirma que el grupo de las isometrías de la superficie actúa transitivamente en los puntos y los vectores de módulo 1; es decir, dado un vector e de módulo 1 en un punto p y otro vector v de módulo 1 en otro punto q, existe alguna isometría de la superficie que transforma p en q y e en v. Es posible demostrar que las únicas superficies riemannianas que satisfacen tal condición son el plano euclídeo, el plano hiperbólico, el plano proyectivo y la esfera.

Si exigimos que por dos puntos pase una única recta, excluimos la esfera, porque por dos puntos diametralmente opuestos (el polo norte y el polo sur) pasan infinitos meridianos (que son las rectas en la esfera).

Si, con el segundo postulado, imponemos que las rectas tengan longitud infinita, eliminamos el plano proyectivo, porque todas sus rectas tienen longitud finita (más aún, son compactas porque el plano proyectivo lo es). Sólo el plano euclídeo y el plano hiperbólico satisfacen los cuatro primeros postulados.

Ahora el quinto postulado deja como única posibilidad el plano euclídeo, que es precisamente la estructura desentrañada por la geometría griega.

Vemos así claramente que, cuando a principios del siglo XIX Gauss, Lobachevsky y Bolyai consideraron la posibilidad de una geometría sin el quinto postulado, descubrieron necesariamente la geometría hiperbólica. Ésta fue la primera de las llamadas Geometrías no euclídeas en aparecer históricamente y Gauss consideró seriamente la posibilidad de que fuera la geometría del espacio en que vivimos, planteando así la cuestión de la estructura geométrica del Universo, que conduciría a la teoría general de la relatividad de Einstein. Gauss incluso llegó a tener cierta preferencia por la geometría hiperbólica, pues en ella hay unidades de longitud naturales.

Redactado por Alonso de Celada

Referencias


Otras fuentes de información

Notas