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Polinomio ciclotómico

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Índice

1 Definición
2 Ejemplos
3 Extensión de cuerpo
4 Referencias

[escribe] Definición

El polinomio ciclotómico de orden n es el polinomio unitario cuyas raíces son raíces primitivas de orden n de la unidad es decir que verifican zⁿ = 1 , pero z^d ≠ 1 si 0 < d < n. Se denota Φ_n.

Se suele tomar las raíces en el cuerpo de los complejos, (otras extensiones del cuerpo de los reales serían posibles), pero carece de consecuencia sobre los polinomios ciclotómicos, cuyos coeficientes son siempre enteros.

El grado de Φ_n es dado por la función fi de Euler, y es lógicamente inferior o igual a n.

Existe un isomorfismo natural entre el conjunto U_n={1, ω ω², ... ω^n-1 } de las raíces de orden n de la unidad, que es un grupo, y el grupo cíclico Z/nZ= Z_n (provisto de la ley «+» únicamente):

$\begin{matrix} Z_n & \longrightarrow & U_n \\ \bar{m} & \longmapsto \ & \omega^m \end{matrix}$

Las raíces primitivas son los generadores del grupo U_n y corresponden por este isomorfismo a los de Z/nZ. Por lo tanto son de la forma ω^r, con 0 ≤ r < n, r coprimo con n, y

$\omega = e^{\frac {2i \pi} n }$

Luego :

$\Phi_n = \prod_{{ }_{r}} (X - \omega^r)$

[escribe] Ejemplos

He aquí la representación gráfica de dos ejemplos:

En rojo están las raíces primitivas, en verde las demás.
Sin embargo, no es está fórmula la que se emplea para calcular los Φ_n, sino la siguiente:

$X^n - 1 = \prod_{d \mid n} \Phi_d$

demostrada aquí, y que se puede escribir así: $\Phi_n = \frac {X^n - 1} { \prod \Phi_d }$ con d | n, 0 < d < n en el producto. Esto que permite encontrar los polinomios por inducción :

$\Phi_1 = X-1 \$ , aplicando la definición. Luego:

$\Phi_2 = \frac {X^2-1} {\Phi_1} = \frac {X^2-1} {X - 1} = X + 1$
$\Phi_3 = \frac {X^3-1} {\Phi_1} = \frac {X^3-1} {X - 1} = X^2 + X + 1$
$\Phi_4 = \frac {X^4-1} {\Phi_1 \Phi_2} = \frac {X^4-1} {X^2 - 1} = X^2 + 1$
$\Phi_5 = \frac {X^5-1} {\Phi_1} = \frac {X^5-1} {X - 1} = X^4 + X^3 + X^2 + X+1$ $\Phi_6 = \frac {X^6-1} {(\Phi_1 \Phi_3) \Phi_2} = \frac {X^6 - 1} {(X^3 -1) (X+1)} = \frac {X^3+1} {X+1} = X^2-X+1$ $\Phi_7 = \frac {X^7-1} {\Phi_1} = \frac {X^7-1} {X - 1} = X^6+X^5+ X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$ $\Phi_8 = \frac {X^8-1} {\Phi_1 \Phi_2 \Phi_4}= \frac {X^8-1} {X^4 -1} = X^4 + 1$
$\Phi_9 = \frac {X^9-1} {\Phi_1 \Phi_3} = \frac {X^9-1} {X^3 - 1} = X^6 + X^3 + 1$ $\Phi_{10} = \frac {X^{10}-1} {(\Phi_1 \Phi_5) \Phi_2} = \frac {X^{10} - 1} {(X^5 -1) (X+1)} = \frac {X^5+1} {X+1} = X^4-X^3+X^2-X+1$ $\Phi_{11} = \frac {X^{11}-1} {\Phi_1} = \frac {X^{11}-1} {X - 1} = X^{10}+X^9+X^8+X^7+X^6+X^5+ X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$ $\Phi_{12} = \frac {X^{12}-1} {(\Phi_1 \Phi_2 \Phi_3 \Phi_6) \Phi_4}= \frac {X^{12}-1} {(X^6-1)(X^2 +1)} = \frac {X^6+1} {X^2+1} = X^4-X^2+1$ $\Phi_{13} = \frac {X^{13}-1} {\Phi_1} = \frac {X^{13}-1} {X - 1} = X^{12}+ X^{11}+ X^{10}+X^9+X^8+X^7+X^6+X^5+ X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$ $\Phi_{14} = \frac {X^{14}-1} {(\Phi_1 \Phi_7) \Phi_2} = \frac {X^{14} - 1} {(X^7 -1) (X+1)} = \frac {X^7+1} {X+1} = X^6-X^5+X^4-X^3+X^2-X+1$ $\Phi_{15} = \frac {X^{15}-1} {(\Phi_1 \Phi_5) \Phi_3} = \frac {X^{15} - 1} {(X^5 -1) (X^2+X+1)} = \frac {X^{10}+X^5+1} {X^2+X+1} = X^8-X^7+X^5-X^4+X^3-X+1$ $\Phi_{16} = \frac {X^{16}-1} {\Phi_1 \Phi_2 \Phi_4 \Phi_8}= \frac {X^{16}-1} {X^8 -1} = X^8 + 1$

Los coeficientes son siempre enteros porque se divide un polinomio de Z[X] unitario por otros que lo son también (lo que se demuestra por inducción otra vez). En esta caso, la división euclídea consiste es una sucesión de sustraciones, sin ninguna división entre números.

Mirando mejor los polinómios, uno tiene la impresión que los coeficientes sólo pueden ser -1; 0 o 1. Pues no es el caso, aunque hay que indagar bastante profundo para hallar el primer contraejemplo: con 105 = 3 × 5 × 7, el primer producto de tres primos impares, se obtiene:

$\Phi_{105} = x^{48}+x^{47}+x^{46}-x^{43}-x^{42}-{ \color{BrickRed} \mbox{2} }x^{41}-x^{40}-x^{39}+x^{36}+x^{35}+x^{34}+x^{33}+x^{32}+x^{31}-x^{28}-x^{26}-x^{24}-x^{22}-x^{20}+x^{17}+ x^{16}+ x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}-x^9-x^8-{ \color{BrickRed} \mbox{2} }x^7-x^6$ $- x 5 + x 2 + x + 1$

Se observan dos coeficientes "2", en x⁴¹ y x⁷.

Se nota que si n es primo, entonces : $\Phi_n = \frac {X^n-1} {X-1} = X^{n-1} + X^{n-2} + ... + X^2 + X + 1$ .

Esto se deduce de la fórmula que da la inducción (con Φ₁ = X - 1), pero también se puede demostrar observando que todas las raíces de orden n salvo z = 1 son primitivas, por lo que hay que dividir Xⁿ - 1 por X - 1.

[escribe] Extensión de cuerpo

En algunos contextos se necesita trabajar en extensiones del cuerpo que contengan raíces de la unidad, para poder factorizar polinomios por ejemplo, pero que no contengan todos los complejos. La idea es prescindir lo más posible de los irracionales (y de los complejos con componentes irracionales), que son muy difíciles de programar (un irracional cualquiera vienen dado a priori por una inifinidad aleatoria de dígitos, y esto no cabe en un ordinador).

La menor extensión de Q que contenga las raíces de orden n de 1 es Q(ω) donde ω es una raíz primitiva de orden n (por ejemplo :

$\omega = e^{\frac {2i \pi} n }$

Como ω es una raíz Φ_n que es un polinomio irreductible sobre Q , entonces Q(ω) es el cuerpo de ruptura del polinomio Φ_n, y se llama cuerpo ciclotómico de orden n, se denota a menudo F_n y se define como el cociente de Q[X] por el ideal generado por Φ_n: