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Polea

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Polea acanalada o de garganta.

Una polea, garrucha, carrucha, trocla, trócola o carrillo, una de las máquinas simples, es una rueda, generalmente maciza y acanalada, que con el concurso de una cuerda se usa como elemento de transmisión en máquinas y mecanismos para cambiar la dirección del movimiento o su velocidad y formando conjuntos —aparejos o polipastos— para además reducir la magnitud de la fuerza necesaria para mover un peso. Según definición de Hatón de la Goupillière «la polea es el punto de apoyo de una cuerda que moviéndose se arrolla sobre ella sin dar una vuelta completa»[1] actuando en uno de sus extremos la resistencia y en otro la potencia.[2]

No se sabe quién inventó la polea ni cuándo; la única nota histórica sobre su uso se debe a Plutarco quien en su obra Vidas paralelas [3] (c. 100 adC) relata que Arquímedes, en carta al rey Hierón de Siracusa, a quien unía gran amistad, afirmó que con una fuerza dada podía mover cualquier peso e incluso se jactó de que si existiera otra Tierra yendo a ella podría mover ésta. Hierón, asombrado, solicitó a Arquímedes que realizara una demostración acordando ambos que fuera un barco de la armada del rey el objeto a mover ya que Hierón creía que éste no podría sacarse de la dársena y llevarse a dique seco sin el empleo de un gran esfuerzo y numerosos hombres. Según relata Plutarco tras cargar el barco con muchos pasajeros y con las bodegas repletas, Arquímedes se sentó a cierta distancia y halando la cuerda arrastró sin gran esfuerzo el barco sacándolo del agua tan derecho y estable como si aún permaneciera en el mar.[4]

Designación y tipos

En las máquinas para la elevación de cargas los elementos constitutivos de una polea son la rueda o polea propiamente dicha, en cuya circunferencia (llanta) suele haber una acanaladura denominada garganta o cajera cuya forma se ajusta a la de la cuerda a fin de guiarla; las armas, armadura en forma de U invertida o rectangular que la rodea completamente y en cuyo extremo superior monta un gancho por el que se suspende el conjunto y el eje que puede ser fijo si está unido a las armas estando la polea atravesada por él, poleas de ojo, o móvil si es solidario a la polea, poleas de eje.

La polea que obra independientemente se denomina simple y la que se encuentra reunida con otras formando un sistema recibe la denominación de combinada. Según su desplazamiento las poleas se clasifican en fijas o de clase 1, aquellas cuyas armas se suspenden de un punto fijo, la estructura del edificio por ejemplo y por tanto no sufren movimiento de traslación alguno cuando se emplean y movibles o de clase 2, que son aquellas en las que un extremo de la cuerda se suspende de un punto fijo y que durante su funcionamiento se desplazan, en general, verticalmente.

En los sistemas de transmisión la polea unida al eje motor se denomina conductora y arrastra en su movimiento mediante correa, cable o cadena a la conducida; si la que montada en el eje conducido se mueve independientemente de él se denomina loca. En aquellos sistemas en los que la distancia entre ejes es pequeña o los ejes de las poleas no se encuentran en el mismo plano se utilizan poleas de guía para modificar el trazado de la correa de forma que ésta ataque tangencialmente las poleas, cuando la distancia entre ejes es muy grande, funiculares por ejemplo, estas poleas son también portantes y su objeto es además repartir el peso del cable. Para garantizar la tensión de la cuerda, cable o correa se recurre, cuando los ejes no pueden alejarse, a poleas o ruedas tensoras dispuestas en el ramal conducido y con el objeto de variar la relación de velocidades se usan poleas escalonadas o cónicas. Las poleas de fricción son aquellas en las que la potencia se transmite por contacto directo entre ellas.

Polea simple fija

Fuerzas actuantes en una polea simple fija.

Asumiendo que la polea y la cuerda no tienen peso y que la cuerda arrastra la polea sin deslizar sobre ella, si O es el centro de la polea y P y R las direcciones de los cabos de potencia (extremo del que tiramos) y resistencia (de donde cuelga el peso) respectivamente, M y N serán los puntos de tangencia a la circunferencia de la polea donde podrán suponerse aplicadas ambas fuerzas.

La polea a todos los efectos puede asimilarse entonces a una palanca angular cuyo fulcro (punto de apoyo) es el punto O y cuyos brazos de palanca son OM y ON de modo que en virtud de la ley de la palanca:

\vec {OM} \times \vec{P}   = \vec {ON} \times \vec{R}

Dado que la polea es cilíndrica ambos brazos de palanca serán iguales al radio de la polea y por tanto:

Polea simple fija.

P = R

Es decir, el uso de la polea simple fija no comporta ninguna ventaja mecánica (ahorro en la fuerza necesaria) ya que las magnitudes de potencia y resistencia son iguales [5], aunque se podrá mover el peso halando la cuerda en la dirección que resulte más cómoda.

La fuerza que ha de soportar el eje de la polea, Q, será la resultante de las fuerzas aplicadas P y R. Suponiendo ambas fuerzas aplicadas en O, y siendo 2α el ángulo que forman los cordones:

Q = 2 \times R \times cos \alpha

Y en el caso de que ambos cordones sean paralelos (α=0, cos α=1):

Q = 2 \times R

La fuerza que deberá soportar el eje de la polea y la estructura de la que cuelgue ésta será el doble del peso que se desea levantar.

Polea simple movible

Fuerzas actuantes en una polea simple movible.

Teniendo en cuenta que ahora la resistencia obra directamente soble la polea estando uno de los extremos de la cuerda fijo, deben verificarse las mismas condiciones de equilibrio antes consideradas, es decir, aplicando de nuevo la ley de la palanca obtendremos que:

P = Q

Es decir, al igual quen el caso anterior las fuerzas que obran en ambos extremos de la cuerda son iguales. Por otro lado, ya que la resultante de ambas fuerzas actuantes sobre la cuerda debe ser igual a la resistencia que pende del eje de la polea:

Polea simple movible.
R = 2 \times P \times cos \alpha

Y despejando:

P = {1 \over {2 \times cos \alpha} } \times R

Puesto que el valor del coseno varía entre 0 (α = 90º) y 1 (α = 0º), cuanto menor sea el ángulo α y mayor su coseno, tanto menor será la fuerza necesaria para mover el peso y mayor la ventaja mecánica del uso de la polea; el máximo se dará cuando ambos ramales sean paralelos:

P = {R \over 2}

Con esta disposición —la más eficiente— el peso se reparte por igual entre los dos ramales de la cuerda de la que pende la polea de modo que la fuerza que hemos de realizar es la mitad del peso que deseamos levantar, sin embargo ahora para levantar el peso un tramo h la longitud de cuerda que debemos halar es el doble, 2h.

En el caso particular de que el ángulo α sea de 30 grados — y su coseno 1/2— la ventaja mecánica desaparece y la potencia ha de ser igual a la resistencia. Si el ángulo es aún mayor la ventaja mecánica toma un valor menor que la unidad y la potencia necesaria es ya mayor que la resistencia.

Sistema de poleas

Sistema ideal de poleas.

De las conclusiones de los análisis de las poleas fijas y móviles se desprende que desde un punto de vista mecánico la eficiencia de un sistema de poleas dependerá del número de poleas movibles que emplee en tanto el uso de poleas fijas no comporta ventaja mecánica alguna. Además, la ventaja máxima se obtendrá cuando los ramales sean paralelos.

Teniendo esto en cuenta la disposición más eficiente de un conjunto de poleas es la mostrada en la figura de la izquierda.

Polea diferencial.

Cada sucesiva polea movible divide por la mitad la resistencia aplicada: el ramal de la primera polea que es a su vez resistencia de la segunda polea soporta una fuerza igual a la mitad del peso; igualmente el ramal de la segunda polea, a su vez resistencia de la tercera polea soporta una cuarta parte del peso, etc. Si se emplean n poleas movibles, la ventaja mecánica será:

A = 2^n  \quad \Longleftrightarrow \quad P = {R \over {2^n} }

La importante desventaja de este sistema de poleas es que usualmente no se dispone de indefinidos puntos fijos de anclaje sino de uno sólo por lo que las configuraciones más usuales consisten en la utilización de dos grupos, uno fijo y otro móvil, con igual número de poleas y estando éstas dispuestas en cada grupo bien en el mismo plano o sobre el mismo eje (véase polipasto).

Polea diferencial

Fuerzas actuantes en una polea diferencial

Una polea diferencial se compone de dos poleas de distinto radio caladas sobre el mismo eje y recibe esta denominación porque la potencia necesaria para elevar el peso es proporcional a la diferencia entre dichos radios; más aún, la máquina no funciona si los radios no son distintos. La cuerda, mejor cadena, es cerrada y se pasa primero por la garganta de la polea mayor (1-2) y luego por la polea móvil que sustenta la resistencia (2-3), retorna a la polea diferencial pasándose por la garganta de la menor (3-4) y finalmente se enlaza con el ramal sobre el que se aplica la potencia (4-1). Al aplicar la potencia en la dirección indicada en la figura, los ramales 1 y 3 descienden mientras que 2 y 4 ascienden.

La resistencia, que ahora denotaremos Q para distinguirla de los radios R y r de la polea diferencial, está sostenida por dos ramales que supondremos paralelos (2 y 3) que se repartirán la carga estando a una tensión Q/2 mientras en la tira de la polea (1) actua la potencia P. La condición de equilibrio es que la suma de los momentos de las fuerzas actuantes sobre la polea respecto de su eje sea igual a cero:

P R +  {Q \over 2}  r - {Q \over 2} R = 0 \quad \Longrightarrow \quad P = {{R - r } \over 2 R} Q

A igual conclusión hubiéramos llegado calculando directamente el brazo de palanca d de la resistencia, ya que si la polea móvil pende libremente quedará centrada entre los puntos de apoyo de los ramales 2 y 3, es decir:

d = {{R - r } \over 2}

La ventaja mecánica es inversamente proporcional a la diferencia de radios de las poleas de modo que cuanto menor sea dicha diferencia mayor será la ventaja mecánica y menor la fuerza necesaria para elevar el peso. En el caso límite, cuando R = r, el sistema se encuentra en equilibrio sin necesidad de realizar ninguna fuerza (P = 0) si bien, por mucho que tiremos de la cuerda o cadena la carga no se elevará ya que la longitud de cuerda halada será la misma en los cuatro ramales.

Referencias

Artículos relacionados

Fuentes empleadas y notas

  1. Citado en el Diccionario Enciclopédico Hispano-Americano, Montaner y Simón Editores, Barcelona, 1984, Tomo 15, p. 909.
  2. Los términos «potencia» y «resistencia» son los que tradicionalmente vienen empleándose en la descripción de máquinas simples y hacen referencia a la fuerza actuante el primero y a la fuerza que se ha de vencer el segundo. Potencia no se emplea por tanto en este artículo en su sentido físico (trabajo —o energía− producido o consumido por unidad de tiempo).
  3. Plutarco, Pelópidas y Marcelo: Marcelo (XIV).
  4. Edición inglesa, traducción de Arthur Hugh Clough (Proyecto Gutemberg).
  5. Con lo cual resultará imposible que una persona pueda levantar una carga mayor que su propio peso tirando de la cuerda por el extremo libre, a no ser que dicha persona esté sujeta al suelo.

Bibliografía

Otras fuentes de información