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[escribe] Definiciones

Un polígono (del griego πoλυς "polys": varios, muchos, numerosos, y γωνια "gônia": ángulo) es una figura geométrica plana limitada por tres o más líneas rectas que se cortan en sus vértices.

Los lados son las rectas que pasan por dos vértices adyacentes o los segmentos que los unen, según el contexto.

Una diagonal es un segmento que une dos vértices no adyacentes, es decir que no pertenecen al mismo lado.

A cada vértice le corresponde un ángulo "interior" definido por los dos lados que convergen en el vértice.

Según el número de vértices, n, los polígonos reciben apelaciones específicas:

[escribe] Propiedades

[escribe] Ángulos

La suma de los ángulos, a_n, de un polígono de n vértices es:

radianes grados

Esto se demuestra por inducción:

• Para iniciar la inducción se constata que es cierto para el triángulo porque sus ángulos suman 180°,
• luego se observa que un polígono cualquiera de n + 1 vértices (V₁, V₂ ..., V_n+1, n > 3), siempre se puede descomponer en uno de n vértices (V₁, V₂ ..., V_n), con sus ángulos sumando radianes por la hipótesis de inducción, y un triángulo (V₁, V_n, V_n+1) cuyos ángulos suman π radianes.

La suma total es que corresponde a la fórmula con n + 1 vértices.

Llegamos al mismo resultado considerando que en un polígono de n lados podemos trazar (n-3) diagonales desde un mismo vértice, con lo que lo descomponemos en (n-2) triángulos. Puesto que para cada triángulo la suma total de sus ángulos vale 180º, obtenemos que los ángulos del polígono suman

[escribe] Convexidad

Un polígono es convexo si y sólo si ninguno de sus ángulos es mayor que 180°. En este caso, el polígono es una intersección de n semiplanos (n sigue siendo el número de vértices, y también el de aristas), lo que permite, en un determinado sistema de coordenadas, caracterizar al polígono por un sistema de inecuaciones.

[escribe] Diagonales

Por ejemplo, un triángulo no tiene diagonales (si n = 3 entonces d = 0), un cuadrilátero tiene dos (si n = 4 entonces d = 2), y un pentágono cinco.

La prueba es sencilla: cada vértice (son n) conecta vía una diagonal con todas las demás salvo ella misma y sus dos vecinas (son entonces n − 3 destinos posibles). Esto daría diagonales, sin embargo una misma diagonal es contada dos veces, porque por ejemplo la diagonal [AC] es tambien la diagonal [CA], por tanto hay que dividir por dos el último valor.

[escribe] Clasificación

Se distinguen los polígonos regulares de los que no lo son.