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Plano orientado

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Plano orientado.png

Se dice que un plano es orientado cuando se ha escogido un sentido positivo de rotación. Los ángulos que tienen el mismo sentido u orientación son positivos mientras que los que no son negativos. La orientación del plano se representa con una flecha curvada que lleva un signo positivo (en el rincón de arriba a la derecha).

En la figura, Las semirrectas [Ax) y [Ay) definen el ángulo orientado u ángulo algebraico (Ax, Ay), que va de [Ax) hacia [Ay), y que es representado por la flecha azul. Este ángulo es positivo y tiene la misma medida que el ángulo geométrico (xAy), mientras que el ángulo (Bz, Bt) es negativo.

En matemáticas se suele adoptar como orientación al sentido opuesto al movimiento de las agujas del reloj; se lo llama sentido trigonométrico.

Se habla también de sentido directo cuando un ángulo, una rotación o una figura tiene la misma orientación que el plano. Por ejemplo el triángulo CDE de la figura es directo mientras que el cuadrilátero FGHI es indirecto. No es propiamente dicho una propiedad de la figura geométrica, sino más bien de su apelación, concretamente del orden de las letras: el triángulo CDE es directo porque las puntos C, D y E se recorren girando en sentido directo - rigurosamente:
( \overrightarrow {CD}, \overrightarrow{CE} ) > 0
, mientras que el triángulo CED es indirecto, pues
( \overrightarrow {CE}, \overrightarrow{CD} ) < 0
, y sin embargo se trata de la misma figura geométrica.
Plano orientado mediante producto vectorial.png

Existen claramente dos maneras de orientar un plano, lo que se ilustra facilmente inmergiendo el plano en el espacio tridimensioal usual. El plano se materializa como una hoja (infinita) de papel por ejemplo, con sus dos lados. A cada lado corresponde un vector normal (perpendicular al plano).

A partir de una orientación del plano se escogen dos vectores no colineales
 \vec u , \vec v
tales que
 (\vec u , \vec v ) > 0
, luego se construye el producto vectorial
 \vec u \times \vec v
, que es ortogonal al plano y apunta hacia un lado u otro. La dirección de este vector indica de manera inequívoca de que orientación se trata.

Notese que el producto vectorial está definido a partir de la orientación del espacio.

Esta representación permite ver que espacios como la banda de Möbius y la Botella de Klein no son orientables.


Autor: M.Romero Schmidtke