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Plano inclinado

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Descomposición del peso de un bloque en un plano inclinado en componentes paralela y perpendicular al plano.

Un plano inclinado es una porción de suelo que forma un cierto ángulo con la horizontal sin llegar a ser vertical, es decir, siendo el ángulo 0º < α < 90º. El plano inclinado, una de las máquinas simples, permite reducir la fuerza que es necesario realizar para elevar o descender un peso.

Equilibrio

Imaginemos un bloque como el mostrado en la figura situado sobre un plano cuya inclinación puede modificarse a voluntad. En una posición cualquiera (dada por el ángulo α), el peso (P) del bloque, que como sabemos es una magnitud vectorial (vertical y hacia abajo), puede descomponerse en sus componentes H y V, paralela y perpendicular al plano inclinado respectivamente:

Además, entre la cara inferior del bloque y el plano inclinado, existe una fuerza de rozamiento que impide que el bloque deslice al incrementar el ángulo de inclinación α. Esta fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza perpendicular ejercida por el bloque sobre el plano inclinado (V), siendo el factor de proporcionalidad el coeficiente de rozamiento μ:[1]

La pérdida del equilibrio, es decir, el descenso del bloque puede darse en dos circunstancias:

Deslizamiento: A medida que incrementamos el ángulo α, la componente H se incrementa, mientras la V disminuye, llegando un momento en el que se vence la fuerza de rozamiento; en el límite, cuando α = α1:

El vuelco del bloque se producirá cuando la vertical desde el centro de gravedad caiga fuera de la base de apoyo.

Vuelco: Antes de alcanzar dicho valor puede darse la circunstacia de que el bloque vuelque sin deslizar. Esta situación se producirá si la vertical desde el centro de gravedad asoma fuera de la base de apoyo; en la figura se muestra la situación límite; si el ángulo α se incrementa por encima de α2 se producirá el vuelco. Si llamamos a a la altura del bloque, b a la longitud de su base y β al ángulo de la diagonal (que pasará por el centro del gravedad si el bloque es homogéneo y de forma rectangular), entonces:

Comparando los valores de α1 y α2, o lo que es lo mismo de tgα1 y tgα2:

  • El bloque deslizará antes de volcar si μ < (b\a)
  • El bloque volcará antes de deslizar si μ > (b\a)

Cuanto más achatado es el bloque (mayor b y menor a), mayor ha de ser el ángulo de inclinación para que se produzca el vuelco; y mayor la probabilidad de que se produzca primero el deslizamiento. Por el contrario, cuanto mayor sea el coeficiente de rozamiento, mayor será la probabilidad de que se produzca el vuelco antes que el deslizamiento.

Para valores de la pendiente del plano inclinado tales que se supere el coeficiente de rozamiento y siendo μ ligeramente superior a la relación b\a se produce simultáneamente el deslizamiento y el vuelvo del bloque.[2]

Ascenso

El plano inclinado permite elevar grandes pesos aplicando fuerzas pequeñas.

Imaginemos que queremos elevar el bloque de peso P anterior mediante un plano inclinado.

De la observación de la figura, es inmediato que para conseguir desplazar el bloque, la fuerza (F) que debemos realizar, es la suma de la componente H y la fuerza de rozamiento; con los valores antes calculados:

Resulta evidente que si en vez del plano inclinado, tratáramos de levantar el bloque sin más ayuda que nuestros propio músculos, la fuerza que tendríamos que realizar sería la del peso del bloque debido a la actuación de la gravedad.

Si no hay rozamiento, μ=0, la fuerza necesaria para elevar el peso puede escribirse:

Y dado que el seno de un ángulo menor que 90º (la vertical) es menor que la unidad, la fuerza a realizar será siempre menor que la necesaria para elevar el peso sin la ayuda del plano inclinado y además, tanto menor cuanto más pequeña sea la inclinación (pendiente) del plano. Por eso se dice que el uso del plano inclinado tiene una ventaja mecánica, es decir, ofrece la posibilidad de mover grandes pesos realizando fuerzas pequeñas, ventaja que puede expresarse numéricamente mediante el valor de la pendiente del plano usualmente expresado en tanto por ciento.

Así, si un plano tiene una pendiente del 10% la fuerza a aplicar mantendrá la misma relación con el peso del objeto, si éste pesa 100 N, la fuerza necesaria será de sólo 10 N.

Evidentemente lo anterior no viola el principio de conservación de la energía ya que la disminución de la fuerza aplicada se hace a expensas de incrementar en igual proporción la longitud (el tiempo o duración) durante la que se aplica la fuerza; en el caso anterior, por ejemplo, hemos conseguido reducir la fuerza aplicada al diez por ciento pero tras recorrer cien metros empujando el peso sólo hemos conseguido elevarlo 10 metros.

En los casos reales esta ventaja mecánica teórica se ve mermada por la existencia de rozamientos.

Descenso

La aceleración a la que desciende un peso por un plano inclinado es constante.

Imaginemos ahora que el bloque desliza por el plano inclinado y se trata de averiguar de qué modo lo hace. Ahora ya no hay ninguna fuerza aplicada, simplemente actúa el propio peso del bloque y la fuerza de rozamiento, de modo que la suma de ambas, como sabemos por la 2.ª ley de Newton será igual al producto de la masa por la aceleración.

Sustituyendo valores:

Y despejando

Siendo g el valor de la aceleración de la gravedad que expresa la relación que existe entre el peso de un objeto y su masa.

Como puede apreciarse el movimiento del bloque es con aceleración constante, «uniformemente acelerado», ya que la pendiente del plano inclinado (α), el rozamiento (μ) y la aceleración de la gravedad (g) también lo son lo que significa que el bloque irá ganando velocidad a medida que desciende por la pendiente. Éste es el caso de un automóvil, por ejemplo, y la razón por la que no se recomienda descender pendientes en punto muerto ya que el coche incrementa su velocidad sin impedimento y obliga a pisar el freno continuamente provocando su recalentamiento y en última instancia el fallo (quedándonos sin frenos), mientras que si el motor está encendido y una marcha baja engranada el propio motor actúa de freno disminuyendo la aceleración del descenso.

Los experimentos de Galileo

Una de las más célebres historias sobre Galileo Galilei es la referente al lanzamiento de diferentes masas desde lo alto de la torre de Pisa (una bola de hierro y una pluma según versiones exageradas) para demostrar que el tiempo que tardaban en alcanzar el suelo era el mismo en contra de lo que planteaba Aristóteles que creía que los objetos más pesados caían más deprisa que los ligeros. No se sabe con seguridad si la historia es cierta pero sí se conoce que realizó experimentos con el plano inclinado para llegar a la misma conclusión, que «los objetos se aceleran independientemente de su masa» ya que como acabamos de ver un plano inclinado sólo ralentiza el movimiento de caída (disminuye el valor de la aceleración) pero no altera su naturaleza (la aceleración sigue siendo constante).

En sus experimentos Galileo dejaba rodar esferas de distinta masa por un plano inclinado y de sus resultados concluyó además que partiendo del reposo, con la bola parada en el punto más alto del plano inclinado, la distancia recorrida era proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido.

Aplicaciones

Restos de arquería de uno de los acueductos de Baelo.
Las rampas y planos inclinados han sido muy empleados desde la antigüedad para alzar las piedras en la construcción de edificios y otras estructuras (véase «megalitismo»), para transportar el agua grandes distancias hasta las poblaciones y los campos de regadío mediante acueductos y canales, en redes de alcantarillado y ya en el siglo XIX con la invención del ferrocarril primero y el automóvil después en el trazado de carreteras y vías de ferrocarril y funicular para salvar desniveles.

En las obras hidráulicas la elección de la pendiente debe ser tal que el agua circule lo suficientemente rápido como para que no se produzca sedimentación, que obstruiría el canal, pero limitando la velocidad para que la erosión del canal no sea elevada. En vías de ferrocarril la pendiente viene limitada por el valor del rozamiento entre la llanta y la vía en las condiciones más desfavorables (con la vía mojada) ya que superado cierto valor en el ascenso la llanta desliza sin avanzar mientras que en el descenso se disminuye la capacidad de frenado; en la práctica raramente se superan valores del 5%. En la construcción de funiculares con pendientes grandes la función de la llanta es de guía elevándose los vagones mediante cables y contrapesos o cremalleras.

En el transporte por carretera las pendientes pueden ser mayores ya que el coeficiente de rozamiento es mayor que en el caso anterior si bien grandes pendientes prolongadas obligan a conducir a bajo régimen sobrecalentando el motor, problema que ya se suscitaba con los animales de tiro.

Col de Braus (1002 m) en los Alpes franceses. Se subió en numerosas ediciones del Tour de Francia, la última en 1961.
«En trayectos cortos puede forzarse la rampa, si hace falta, hasta el doble de su valor normal, siempre que vaya seguida de una rasante de inclinación suave, y de longitud bastante para dar tiempo a que reposen las caballerías».[3]

La pendiente —relacionada con la velocidad de proyecto— de la vía viene limitada en regulaciones oficiales, por ejemplo, la Instrucción de Carreteras española fija el máximo de vías rápidas en el 5% (excepcionalmente el 6%) y de carreteras convencionales en el 7% (excepcionalmente el 10%), limitación que ha dado lugar a los zigzagueantes pasos de montaña testigos de numerosas gestas ciclistas, algunos incluso con tramos de pendiente superior al 15%.

En el transporte marítimo se ha utilizado igualmente una variante del funicular, el «montabarcos», siendo el primero de este tipo construido el del Canal Ketley en Inglaterra en 1788.[4] El conjunto consta de una bañera o cuenco, en la que flotan las embarcaciones, que se mueve sobre railes. En el Canal de La Marne en el río Rin en Alsacia-Lorraine hay uno en funcionamiento. Un tipo particular es el «tambor montabarcos», un gran cilindro hueco que rueda sobre guías transportando las embarcaciones en su interior. Para pequeñas embarcaciones o en astilleros se prescinde de la bañera montando la embarcación directamente en un carro que se desplaza sobre carriles permitiendo su transporte a dique seco.

Como medio de manutención en la industria se utiliza con fruición la cinta transportadora, un plano inclinado móvil que arrastra los objetos por rozamiento y en edificios comerciales y de oficinas y aún en las calles escaleras mecánicas que son en realidad evoluciones del anterior para el traslado de las personas en los que por comodidad se han introducido peldaños.

Por último cabe mencionar el papel que juega las rampas sean naturales o artificiales y con diversos perfiles en prácticas deportivas como el esquí (descenso y salto), el monopatín (skateboarding) y otras.

Referencias

Artículos relacionados

Bibliografía

Otras fuentes de información

Notas

  1. Para que todas las fuerzas estén en equilibrio debe existir una reacción normal (N) del plano inclinado contra el bloque igual en magnitud a la componente V. Generalmente la fuerza de rozamiento se expresa como el producto del coeficiente de rozamiento por N (en nuestro caso N = V).
  2. Véase Curso Interactivo de Física en Internet, por Ángel Franco García para un análisis más detallado de la pérdida del equilibro en un plano inclinado.
  3. Hütte, Manual del Ingeniero, Gustavo Gili, Barcelona, 1938, tomo III, p. 830.
  4. Véase Wikipedia (inglés) - Canal inclined plane