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[escribe] Definiciones

Antiguamente, se definía una permutación así: Sea un número n de objetos, (n>1), alineados en una mesa con el fin de poder atribuir a cada cual su rango: el objeto más a la izquierda es el primero, el que sigue el segundo y así sucesivamente. Ahora se mezclan los objetos y se les vuelven a colocar en una fila, en cualquier orden. Se dice que se han permutado los objetos, o, lo que viene a ser lo mismo, los números de 1 a n.
Si el objeto que se encuentra actualmente a la izquieda era antes el quinto de la fila, si el que se encuentra a su derecha era el séptimo ... y el que está al final era el segundo ... entonces la actual permutación está caracterizada por los serie de números ( 5, 7, ..., 2).

La definición moderna de una permutación ya no hace referencia al mundo real, y prescinde de los objetos.
Para conocer la permutación, sólo se necesita conocer la serie de números (5, 7, ..., 2) en el ejemplo. Se dice que 5 es la imagen de 1 por la permutación, 7 es la imagen de 2, ...y 2 es la imagen de n. De este punto de vista, una permutación es una aplicación biyectiva de [1,n] hacia [1,n]. Es biyectiva porque a cada posición anterior de un objeto corresponde una única posición actual.

Una permutación de orden n es una biyección de [1,n]

Se llama grupo simétrico de orden n al conjunto de todas las permutaciones de orden n.

Este conjunto forma un grupo con la ley de composición de las funciones, y tiene un alto grado de simetría.

[escribe] Representaciones

Sea σ una permutación. Para definir σ se puede escribir σ(1)=..., σ(2)=... hasta σ(n)=... lo que no resulta muy económico porque se repiten así n veces la letra σ y se escriben 2n paréntesis. Existen varias maneras de ahorrar esfuerzos y tinta...
La primera idea es escribir σ bajo forma de una matriz, con en primera línea loa antecedentes, y en segunda línea las imágenes correspondientes.

Una representación más llamativa es la que emplea los grafos orientados:

Escrito así, se puede ver que la σ se descompone en ciclos, de orden 4,3 y 1 respectivamente. El de orden 1 no merece realmente el nombre de ciclo. Se nota asíla descomposición: σ = (1 3 6 2) º (4 7 8), el símbolo º designa la composición de las funciones. Un ciclo deja fijo todos los puntos que no figuran el él.

Para componer permutaciones, la representación más idónea es la que sigue:

Si

y

entonces se las dibuja así :

y su composición es : τ º σ

[escribe] Los grupos simétricos de orden 1,2,3 y 4

La costumbre es denotar los grupos simétricos con la letra gótica  , pero para mayor facilidad también se acepta su equivalente latino S_n (en índice se pone el orden del grupo).

Los tres primeros grupos son sencillos:

S₁ consta de un único elemento, la identidad o aplicación idéntica, pues no existe otra permutación de un único elemento.

S₂ consta de dos elementos, porque en el conjunto {1; 2} existen dos permutaciones: la identidad y la permutación que intercambia el 1 y el 2: s = (1 2) ("s" por "simetría", porque s² = id).

S₃ corresponde a las permutaciones de tres puntos que se pueden disponer en triángulo. Existen tres simetrías, entre ellas s = (1 2), y dos rotaciones (permutaciones circulares), r = (1 2 3) y r² = (1 3 2). r³ = id.
sr (para sºr, pues es frecuente no escribir la ley de composición) es otra simetría luego (sr)² = id que se simplifica en sr = r²s y por otra parte rs = sr² lo que significa que s y r no conmutan, por tanto el producto de los grupos {id, s} por {id, r, r²} es semidirecto.
Visto en Z₂*Z₃ - s corresponde a (1,0) y r a (0,1) - la ley de composición es:

(a, b) º (a', b') = (a + a', (-1)^a'b + b').

Autor: M.Romero Schmidtke

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