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[escribe] Definiciones

Número par es todo múltiplos de 2. Número impar es todo múltiplos de 2 más 1.

[escribe] Fórmulas generativas de pares

La forma de generar los multiplos de 2 con números naturales es: 0+2=2, 2+2=4, 2+2+2=6, 2+2+2+2=8...etc, que viene a ser lo mismo que 2x1=2, 2x2=4, 2x3=6, 2x4=8..etc y asi con toda la serie de numeros naturales.

Luego la serie consecutiva de pares es: 0,2,4,6,8..etc, hasta el infinito.

Una fórmula general para crear pares con números naturales es: P=2n donde (n) es cualquier número natural.

Para generar la serie consecutiva de pares, en la serie de número enteros, se hará igual que la natural, pero siendo (n) un número entero.

Los enteros pares son: (-infinito)...(-6), (-4), (-2), 0, (+2), (+4), (+6) ...etc (+infinito)

[escribe] Fórmula generativa de impares

Como un impar es un par más 1, la fórmula general para crear impares, con números naturales es: I=2n+1 donde (n) es cualquier número natural.

La serie consecutiva de impares será: 0+1=1, 2+1=3, 4+1=5...etc donde 1,3,5,7,...etc son impares.

Para generar la serie consecutiva de impares, en la serie de número enteros, se hará igual que la natural, pero siendo (n) un número entero.

Los enteros impares son: (-infinito)...(-5), (-3), (-1), 0, (+1), (+3), (+5 ) ...etc

[escribe] Formas de representar los pares e impares

Otra forma de representar pares e impares el la serie de números naturales:

P=I+1

P=I-1 (Si I>0).

I=P+1 (si P>=0)

I=P-1 (Si P>=2).

En la serie de números enteros las fórmulas anteriores quedan así:

P=I+1 ó P=I-1

I=P+1 ó I=P-1

La serie par con números enteros es: etc...-6,-4,-2,0,2,4,6,8....etc

La serie impar con enteros es: etc...-5,-3,-1,1,3,5....etc

[escribe] Propiedades básicas de los pares

1.-La serie de números pares es infinita (ya que la serie natural y entera también lo es).

2.-La serie de pares son los múltiplos de 2 y forman una progresión aritmética de razón 2 y primer término el cero (dentro del o de los números naturales)

3.-La mitad de los números natural y enteros son los números pares y la otra los impares.

4.-El único número primo par es el 2, los demás pares son números compuestos (ya que son multiplos de dos).

5.-Dentro del campo de los números naturales el 0 es el primer par.

[escribe] Propiedades básicas de los impares

1.-La serie impar es infinita (ya que lo es la par y todo impar es igual un Par+1.

2.-El primer número impar es el 1 (en la serie natural).

3.-La serie impar es la par más la unidad y forman una progresión aritmética de razon 2 y primer término el 1 (dentro de la serie natural).

4.-La mitad de los números naturales y enteros son impares y la otra son pares.

5.-La serie infinita de los números primos, menos el 2, están incluidos en la serie impar (sino fuera así habría primos en la serie par, cosa ilógica, ya que los pares son multiplos de 2 y divisibles por este).

[escribe] Propiedades operativas

[escribe] Suma de pares e impares

[escribe] Sumar 2 pares

La suma de dos pares da un número par. (Prop.01) Esto lo simplificaremos poniendio Par+Par=Par

DEMOSTRACIÓN:

Sean A y B dos pares de cocientes C y D, luego A=2C y B=2D dando lugar a que A+B=(2xC)+(2xD)=2(C+D)=2+2+2..etc (C+D) veces resultando un múltiplo de 2 que es par.

Ejemplos:4+8=12 (par), 44+22=66 (par)..etc

[escribe] Sumar 2 impares

La suma de dos impares da un número par. (Prop.02) Esto lo simplificaremos poniendio Impar+Impar=Par

DEMOSTRACIÓN:

Sean A y B dos impares de cocientes C y D y como es lógico de resto 1, luego A=(2xC)+1 y B=(2xD)+1 y haciendo la suma de A y B tendremos A+B=(2xC)+1+(2xD)+1=(2x(C+D))+2 donde los dos sumandos son pares y según propiedad anterior el total será par.

Ejemplos: 5+5=10 (par), 3+7=10 (par), 11+13=24 (Par)...etc

[escribe] Sumar 1 par más 1 impar o viceversa

La suma de par más impar, o viceversa, da siempre impar.(Prop.03) Esto lo simplificaremos poniendio Impar+Par=Par+Impar=Impar

DEMOSTRACIÓN:

Sean A un par donde A=(2xC) y B un impares donde B=(2xD)+1 Luego A=(2xC) y B=(2xD)+1 y haciendo la suma de A y B tendremos A+B=(2xC)+(2xD)+1=(2xC)+(2xD)+1=(2x(C+D))+1 donde el primer sumando es par y el 1 impar resultando impar ya que Par+1=Impar por definición.

Ejemplos: 4+11=15 (impar), 13+6=19 (Impar)...etc

[escribe] Sumas con más de dos sumandos

[escribe] Sumar una serie de pares

La suma de una serie de números pares da un total par.(Prop.04)

Luego Par+Par+Par...etc=Par

DEMOSTRACIÓN:

La suma de varios sumandos se hace así:

1.-Sumar los 2 prineros pares y sustutuirlos por el total, que es par, ya que par+par=par. (acción valida gracias a la pripiedad asociativa)

2.-Sumar el total par anterior y el siguiente par, que dará otro vez par y volver a sustituirlos por el total par nuevo.

3.-Seguir igual que los apartados 1 y 2 hasta el último sumando par, que dará un total general par.

[escribe] Suma de una cantidad par de sumandos impares

La suma de una cantidad par de sumandos impares da par.(Prop.05)

Luego impar+impar+impar...etc H veces (H=Par)-->=Par

DEMOSTRACIÓN:

Sea la suma Impar+Impar+Impar...etc una cantidad H de sumandos par.

Todo Impar+Impar=Par, si sustituimos este total en la suma anterior tendremos (Impar+Impar)+(Impar+Impar)... etc H/2 veces = Par..etc H/2 veces=Par (según Prop.05).

Ejemplo:3+7+9+11=30 como (3+7)=10 (par) y (9+11)=20 (par) entonces (3+7)+(9+11)=10+30 según propiedad asociativa; luego 10+20=30 que es par.

[escribe] Suma de una cantidad impar de sumandos impares

La suma de una cantidad impar de sumandos impares da impar.(Prop.06)

Luego si H(impar) tendremos que Impar+Impar..etc (H) veces=Impar

DEMOSTRACIÓN:

1.-Sea H un impar, luego (H-1)=Par.

2.-(Impar+Impar..etc H veces)=(Impar+Impar..etc(H-1))+Impar.

3.-Los sumandos de la suma del paso 2 son: (Impar+Impar..etc (H-1))=Par y el otro es un impar.

4.-Luego Par+Impar=Impar (según Prop.03) que es lo que deseabamos demostrar.

Ejemplo:3+5+11+9+7=35, 5+3+9+1+7=25..etc

[escribe] Sumar varios pares y una cantidad par de impares

La suma de varios sumandos pares con una cantidad par de sumandos impares dará un número par.(Prop.07)

Luego Par+Par..etc+impar+impar...H(par) veces=par.

DEMOSTRACIÓN:

1.-Segun la propiedad asociativa podemos agrupar todos los pares en un subtotal y los impares en otro y el total general no varía.

2.-El subtotal de pares dará par según (Prop.04).

3.-El subtotal de los impares dará par según (Prop.05)

4.-Luego (subtotal par)+(subtotal par)=par según (Prop.01)

Ejemplo: (4+6+5+3)=((4+6)+(5+3))=10+8=18.

[escribe] Resta de pares e impares

[escribe] Restar dos pares

La Resta de dos pares da un número par. (Prop.09) Esto lo simplificaremos poniendio Par-Par=Par

DEMOSTRACIÓN:

Sean A y B dos pares de cocientes C y D, donde A>B, luego A=2C y B=2D dando lugar a que A-B=(2xC)-(2xD)=2(C-D)=2+2+2..etc (C-D) veces resultando un múltiplo de 2 que es par.

Ejemplos:8-4=4 (par), 44-22=22 (par)..etc

[escribe] Restar dos impares

La resta de dos impares da un número par. (Prop.10)

Esto lo simplificaremos poniendio Impar-Impar=Par

DEMOSTRACIÓN:

Sean A y B dos impares de cocientes C y D, donde A>B, luego A=(2xC)+1 y B=(2xD)+1 y haciendo la resta de A y B tendremos A-B=((2xC)+1)-((2xD)+1)=(2x(C-D))+0=2x(C-D) que es múltiplo de 2 y será par.

Ejemplos: 15-5=10 (par), 13+7=6 (par), 21-13=8 (Par)...etc

[escribe] Restar un par de un impar

La resta de par con impar, o viceversa, da siempre impar.(Prop.11)

Esto lo simplificaremos poniendio Impar-Par=Par-Impar=Impar

DEMOSTRACIÓN:

Sean A un par donde A=(2xC) y B un impar donde B=(2xD)+1 Luego A=(2xC) y B=(2xD)+1 y haciendo la resta de A y B tendremos A-B=(2xC)-(2xD)+1=(2xC)-(2xD)-1=(2x(C-D))-1 donde el primer sumando es par y el 1 impar resultando impar ya que Par-1=Impar por definición.

Ejemplos: 14-11=3 (impar), 14-7=7 (impar)...etc

[escribe] Multiplicación de pares e impares

[escribe] Multiplicar dos o más pares

La multiplicación de dos o mas pares entre si da un par.(Prop.12)

Esto lo simplificamos poniendo (Par)x(Par)x(Par)...etc=P

DEMOSTRACIÓN:

Sea A y B dos pares cuyos cocientes con 2 (ya que son pares) son C y D, luego tendremos que A=2xC y B=2xD.

1.-AxB=(2xC)x(2xD) que segun la propiedad de multiplicar dos productos será AxB=2x2xCxD.

2.-Como AxB=2x2xCxD=2x(2xCxC) que es múltiplo de 2 y por consiguiente par.

3.-En el caso de que ese total lo multiplicaramos por otro par según lo dicho en 1 y 2 daría otro par.

4.-Luego según paso 3 un producto de pares da par.

[escribe] Multiplicar dos o más impares

La multiplicación de dos o más impares da un impar.(Prop.13)

Esto lo simplificamos poniendo (Impar)x(Impar)=(Impar)

DEMOSTRACIÓN:

Sea A y B números impar donde A=(2xC)+1 y B=(2xD)+1.

1.-AxB=((2xC)+1))x((2xD)+1) que según la propiedad distributiva tendremos AxB=((2xC+1))x((2xD)+1)=(2xCx2xD)+(2xC)+(2xD)+1 . 2.-Los sumandos(2xCx2xD), (2xC), (2xD) son pares por se múltiplos de 2 y el 1 es un impar.

3.-Como Par+Par+Par=Par según (Prop.04)

4.-El subtotal par anterior más el sumando 1 dará Par+1=Impar según definición de impar. 5.-Si el total anterior lo multiplicaramos por otro impar daría otra ves impar ya que (Impar)x(Impar)=(Impar).

[escribe] Multiplicar un par por un impar

La multiplicación de un par por un impar da un par.(Prop.14)

Esto lo simplificamos poniendo (Par)x(Impar)=(Par)

DEMOSTRACIÓN:

Sea A y B un par y un impar donde A=(2xC) y B=(2xD)+1.

1.-AxB=(2xC)+1)x((2xD)+1) que según la propiedad distributiva tendremos AxB=(2xC)x((2xD)+1)=(2xCx2xD)+(2xC)

2.-Los sumandos(2xCx2xD) y (2xC) son pares por se múltiplos de dos

3.-Luego Par+Par=Par según (Prop.01)

[escribe] Multiplicar varios pares por varios impares

El producto de varios pares por varios impares siempre dará par.(Prop.15)

1.-Una serie de factores pare e impares se pueden agrupar los pares por un lado y los impares por otro, segun propiedad asociativa de la multiplicación.

2.-El subtotal de pares será par (según Prop.12) y el subtotal de impares será impar (según Prop.13).

3.-Luego (Par)x(Impar)=Par según (Prop.14)

[escribe] División entre pares e impares

En estas cuestiones las divisiones siempre se consideraran exactas.

[escribe] Dividir dos pares

Si dividimos un par por otro par el cociente puede ser par o impar.(Prop.16)

DEMOSTRACIÓN:

Sean A y B dos pares que divididos dan A/B=C, luego si ponemos esta división en forma multiplicativa tendremos A=BxC.

1.-Si A y B son pares y C fuera par tendriamos que (Par)=(Par)x(Par) igualdad correcta según (Prop.12).

2.-Si A y B son pares y C fuera impar tendriamos Par=(Par)x(Impar) igualdad correcta según (Prop.14).

3.-De esto se deduce que el cociente C puede ser par o impar.

[escribe] Dividir dos impares

Si dividimos un impar por otro impar el cociente será impar.(Prop.17)

Luego lo podemos simplificar poniendo Impar/Impar=Impar

DEMOSTRACIÓN:

Sean A y B dos impares que divididos dan A/B=C, luego si ponemos esta división en forma multiplicativa tendremos A=BxC.

1.-Si A/B=C y C fuera par tendriamos que (Impar)=(Impar)x(Par) igualdad que no es correcta ya que (Impar)x(Par)=(Par) según (Prop.14).

2.-En A/B si C fuera impar tendriamos que Impar=(Impar)x(Impar) igualdad correcta según (Prop.13).

3.-De esto se deduce que el cociente C tendrá que ser impar.

[escribe] Dividir un par por un impar

Si dividimos un par por un impar el cociente será par.(Prop.18)

Luego lo podemos simplificar poniendo Par/Impar=Par

DEMOSTRACIÓN:

Sean A es par y B impar que divididos dan A/B=C, luego si ponemos esta división en forma multiplicativa tendremos A=BxC.

1.-Si A/B=C y C fuera par tendriamos que (Par)=(Impar)x(Par) igualdad que es correcta ya que (Par)x(Impar)=(Par) según (Prop.14).

2.-En A/B si C fuera impar tendriamos que Par=(Impar)x(Impar) igualdad que no es correcta según (Prop.13).

3.-De esto se deduce que el cociente C tendrá que ser par.

[escribe] Dividir un impar por un par

Si dividimos un impar por un par el cociente no será exacto.(Prop.19)

Luego lo podemos simplificar poniendo Impar/par=cociente inexacto

DEMOSTRACIÓN:

Sean A es impar y B par que divididos dan A/B=C, luego si ponemos esta división en forma multiplicativa tendremos A=BxC. 1.-Si A/B=C y C fuera par tendriamos que (Impar)=(Par)x(Par) igualdad no correcta ya que (Par)x(Par)=(Par) y no impar, según (Prop.12).

2.-En A/B si C fuera impar tendriamos que Impar=(Par)x(Impar) igualdad que no es correcta ya que (Par)x(Impar)=Par según (Prop.14).

3.-De esto se deduce que el cociente C no será exacto.

[escribe] Potencias de base par o impar

[escribe] Potencia de base par

Si la base de una patencia es par el total también es par.(Prop.20)

Podemos simplificar poniendo Parⁿ = Par

Sea la potencia Aⁿ = T donde A es par, resultará que TxTxT...etc N veces=Par ya que (Par)x(Par)x(Par)...etc N veces=Par según (Prop.12)

[escribe] Potencia de base impar

Si la base de una patencia es impar el total también es impar.(Prop.21)

Podemos simplificar poniendo Impar=Impar

Sea la potencia Aⁿ = T donde A es impar, resultará que TxTxT...etc N veces=impar ya que (Impar)x(Impar)x(Impar)..etc N veces=(Impar) según (Prop.13)

[escribe] Radicandos pares o impares de raices

Se consideraran radicandos con raiz exacta.

[escribe] Radicando par de una raiz

Si un radicando de una raiz exacta es par el resultado también es par.(Prop.22)

Sea la radicación donde B es par, si C fuera par tendriamos que CxCxC=Par cosa correcta ya que (Par)x(Par)x(Par)=(Par) según (Prop.12), si el total fuera impar no sería una igualdad correcta ya que solo (Impar)x(Impar)=(Impar) según (Prop.13)

[escribe] Radicando impar de una raiz

Si un radicando de una raiz exacta es impar el resultado también es impar.(Prop.23)

Sea la radicación donde B es impar, si C fuera impar tendriamos que CxCxC=impar cosa correcta ya que (impar)x(Impar)x(Impar)=(Impar) según (Prop.13); si el total fuera par no sería una igualdad correcta ya que solo (Par)x(Par)=(Par) o bien (Par)x(Impar)=Par según (Prop.12 y 14)

[escribe] Referencias

Bibliografía

• Dalmáu Carles, J.. Aritmética razonada. 
• Marcos, C., y J. Martinez. Matemáticas. 
• González Aguilar, Jorge. Matemáticas. 
  

Otras fuentes de información

• Artículo sobre pares e impares en Wikipedia.

Notas