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Numeración en base constante

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Un sistema de numeración en base constante es un sistema posicional en el cual cada dígito se multiplica por una potencia de la base y la suma de estos productos proporciona el número representado.

Sea b un entero superior a uno. Escribir un entero n en la base b significa descomponerlo en las potencias de b, es decir determinar los coeficientes (también llamados cifras) ak tales que:

  • 0 ≤ ak ≤ b-1
  • n es la suma de los akbk, con k≥ 0.

Bien es sabido que el sistema vigente por doquier es el decimal; es decir que se emplea la base diez: b = 10. La escritura de cualquier entero utiliza las potencias de 10 así:

1492 = 1000 + 400 + 90 + 2 = 1×1000 + 4×100 + 9×10 + 2×1 = 1×103 + 4×102 + 9×101 + 2×100 .

Para pasar de las unidades a las decenas, y de las decenas a las centenas, se multiplica por el mismo número, aquí diez, por eso se dice que el sistema es la numeración en base constante. Han existido históricamente numeraciones en base variable, como la de los Sumerios, que empleaban una mezcla de base 60 y de base 10, conservada aún para dividir las horas en sesenta minutos, y no en diez o cien, y el círculo, en 360 = 6×60 grados, y no en cien o cuatrocientos (sistemas también empleados, pero no tan comunes).

La desventaja de aquél sistema era que multiplicar por 10 o 60 no resultaba fácil, pues no se puede secillamente mover las cifras (a la izquierda) y añadir un casilla vacía (un cero, que no se había inventado todavía) a la derecha.

Se ha empleado la númeración en base constante, con otras bases que diez, principalmente las bases cinco (los aztecas) y veinte. Quedan rastros del empleo de la base veinte en algunos idiomas occidentales, como el euskera, el francés (ochenta se dice quatre-vingt es decir cuatro veinte, ya que la palabra huitante sólo se emplea en Suiza), el danés (para los números 50, 60 y 70), el inglés (score, five scores para cien), y el latín (donde 18 no se decía 10 y 8 sino 20 - 2).

Obviamente, la elección de las bases 5, 10 o 20 se debe a causas biológicas, pues el hombre siempre contó con los dedos (hasta de los pies).

Hacia la mitad del siglo XX, se desarrolló un interés descomunal por la base dos o base binaria, pues tiene la ventaja de necesitar solamente dos cifras, 0 y 1, lo que encaja bien con los dos estados de un circuito electrónico: sin corriente o con corriente. Reagrupando las cifras por cuatro o por cinco se obtiene la base hexadecimal (base dieciséis) y la base treinta y dos. Cuando se trabaja en una base superior a diez, se tiene que inventar nuevas cifras,para notar los números que van de diez a b-1 (b sigue siendo la base).
Por ejemplo, cuando se emplea la base doce, se añade las cifras α (alfa) y β (beta) para diez y once. Para la base hexadecimal, la costumbre es utilizar las letras mayúsculas A, B, ... F.

Cuando mayor sea la base, más complicado es calcular en ella, pues se necesita aprender tablas de multiplicación más largas (con b2 productos).

Cuando menor sea la base, más larga se vuelve la escritura de los números: por ejemplo, la escritura de un número en base binaria es ln 10/ ln 2 veces más larga que su esritura en base decimal, o sea 3,3 veces más, en promedio. (la longitud es proporcional al inverso del logaritmo de la base).

Por ello, la cuestión de saber qué base es la más práctica no tiene respuesta sencilla. Sin embargo, se puede afirmar que la base decimal no tiene nada de exepcional, y que es superada con creces por la base seis, que ofrece la ventaja de tener criterios de divisibilidad sencillos para dividir por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, diez y doce, mientras que en base decimal, el 7 no tiene criterio asequible.

Todo número real se puede escribir en base b es decir descomponer en las potencias de b, las bk, con k entero positivo o negativo. Por ejemplo, en base diez:

42,58 = 4×101 + 2×100 + 5×10-1 + 8×10-2.

Si la descomposición necesita una infinidad de cifras, se dice que el número no es decimal.
1/3 = 0,333333333333... no es decimal, pero en base tres, un tercio es 1/10 = 0,1 que sí lo es (habría que inventar una palabra como triemal para significar decimal en base tres).
No hay unicidad de la escritura de un real en una base, como lo muestra la igualdad 1 = 0,999999999999...... pero, si se decide que no se autoriza la sucesión infinita de cifras b-1 en base b, se demuestra que sí hay una única manera de escribir un real en base b.

Referencias

Artículos relacionados

Bibliografía
Autor: M.Romero Schmidtke

Notas