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Nonio

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Reproducción del nonio, obra de Jorge Leitão. Museo de la Marina (Lisboa)

Instrumento de medida de ángulos con precisión próxima al minuto de arco ideado por el matemático y geógrafo portugués, profesor de la Universidad de Coimbra y padre de la navegación científica, Pedro Nunes (1502-1578).

Nunes pensó en la aplicación práctica del nonio desde un primer momento, pero su construcción presentaba dificultades técnicas importantes, por lo que su uso quedó prácticamente restringido a la comunidad científica. Tycho Brahe lo utilizó en varios de sus instrumentos astronómicos.

Para la navegación -preocupación del momento- no resultó muy útil: añadirlo a un astrolabio era prácticamente imposible, y además el movimiento de las embarcaciones impedía hacer alineaciones fiables con un instrumento tan preciso, sin entrar a considerar la pericia necesaria para su uso, que no cabía esperar de la mayor parte de las tripulaciones de la época.

Con posterioridad a Nunes, el matemático francés Pierre Vernier ^[1] (1580-1637) se basa en el nonio para desarrollar la escala que lleva su nombre. Con el tiempo, nonio, vernier o nonio de Vernier, designan indistintamente aparatos de medida sensibles hasta la fracción de unidad. Entre algunos, nonio es el vernier que aprecia la décima de unidad exclusivamente.

Sin embargo, ambos instrumentos son distintos, aunque pensados para fines semejantes.

Adelantado en su tiempo, el nonio se refugió en observatorios, laboratorios y códices científicos, sin haber perdido desde entonces un ápice del brillo de la inteligencia de su inventor. Es uno de esos logros que a lo largo de la Historia de la Ciencia consiguieron resolver un problema difícil con claridad y sencillez.

La innovación de Pedro Nunes

Más información → De Crepusculis

La escala diagonal de Levi ben Gerson, para unos, o de Digges, para otros. En escalas circulares introduce errores en la medida. A pesar de ello llegó a utilizarse en algunos astrolabios.

En el siglo XVI la navegación requiere que la posición de un navío en alta mar sea determinada con exactitud. Los cuadrantes y astrolabios de la época daban a los pilotos una precisión del orden del grado, lo que implicaba errores del centenar de kilómetros en un rumbo. Menudean los naufragios. Las potencias de la época buscan una solución al problema, que tardará en resolverse plenamente ^[2]. Sin embargo van haciéndose mejoras sucesivas en la tecnología de la navegación astronómica. En el curso de este proceso surge Nunes, quién a partir del astrolabio logra una innovación de gran eficacia en lo que enseguida se conocerá como nonio, epónimo de su inventor.

Se ha discutido si Nunes conocía la escala diagonal de Levi ben Gerson (1288-1344) ^[3], matemático judío francés inventor del báculo de Jacob, instrumento para medir ángulos muy usado en el siglo XIV por los pilotos. ^[4] La opinión generalizada es que no, pues, siendo la obra de Levi un manuscrito su divulgación tuvo que resultar muy limitada. La escala diagonal -llamada a veces transversal- da aproximaciones de la décima de grado mediante la aplicación del teorema de Tales, aunque su uso se limita a escalas rectilíneas.

La solución de Nunes va por otro camino.

Imaginemos que se va a tomar la altura de dos estrellas A y B, con un cuadrante, y un nonio, comparando después los resultados obtenidos en cada caso. Para simplificar, el cuadrante está graduado de diez en diez grados.


Izquierda: cuadrante dividido en 9 partes iguales de 10º cada una. Derecha: modelo simplificado de nonio. A la escala del cuadrante -escala principal-, se le han añadido otras cinco (I a V), resultando un nonio de 6 escalas y 39 posiciones -excluidos los ceros de cada escala-.

Comencemos con el cuadrante -izquierda-.
La estrella A parece estar a 55º sobre el horizonte. Es cuanto podemos decir, porque la incertidumbre es de +-5º, toda vez que la amplitud entre dos marcas consecutivas vale 10º ^[5].
Respecto a B, anotaremos unos 35º, quizás 33º ó 34º, según el observador.
En el caso de A podría pensarse que la lectura es bastante precisa, pero para B ya lo es mucho menos.

Los resultados serán muy distintos si al cuadrante le añadimos otras cinco escalas (I, II, III, IV y V) divididas en 8, 7, 6, 5 y 4 partes -derecha-: ganamos precisión de forma inmediata.
Ahora para A tenemos las marcas 3 y 5 de las escalas IV y I. Preferimos la primera: en la escala IV cada posición vale 90/5 de grado (18º), de manera que la altura de A es 3x18º= 54º.
En cuanto a B tomamos la marca 3 de la escala I, lo que nos da una altura de 90/8 x 3= 270/8 = 33º y ¾ de grado.

Añadiendo escalas a la principal del cuadrante se consigue que la visual del objeto observado caiga suficientemente cerca de alguna marca, o pase por ella, reduciéndose notablemente la incertidumbre en la medida mediante un procedimiento tan eficaz, como sencillo. Hemos construido un nonio. En palabras de su inventor:

... um instrumento muito apropriado às observações dos astros, e com o qual se possam determinar rigorosamente as respectivas alturas ^[6].
De Crepusculis (1542), Proposición III ^[7]

Escalas y posiciones

Más información → Marcas o posiciones del nonio

En el nonio real a la escala principal del cuadrante de 90 partes iguales -grados sexagesimales- se le añaden otras 44 escalas más hacia adentro, concéntricas con aquélla, divididas sucesivamente en 89 partes la 2.ª, 88 la 3.ª, 87 la 4.ª, hasta la 45.ª que resulta dividida en 46 partes.

En total, 45 escalas -TABLA I:

En negrita, las escalas, de la más externa (1) a la más interna (45).
Entre paréntesis, el total de marcas.
Debajo, la magnitud angular de cada parte, hasta el segundo de arco.
Resulta del cociente entre los 90º del cuadrante y el número total de marcas de esa escala.
Así, para la escala 11, que cuenta con 80 posiciones:
$\begin{matrix}\left(\frac{90}{80}\right)^\circ\end{matrix}$ = 1º 07' 30"

De ello resultan 3.060 posiciones, sin incluir los ceros de escala.

TABLA I
Escalas, posiciones, y magnitudes angulares
**Negrita**: escala. *Entre paréntesis*: total de posiciones en esa escala
1 (90) 1º 00' 00"	2 (89) ≈ 1º 00' 40"	3 (88) ≈ 1º 01' 22"	4 (87) ≈ 1º 02' 04"	5 (86) ≈ 1º 02' 47"	6 (85) ≈ 1º 03' 32"	7 (84) ≈ 1º 04' 17"	8 (83) ≈ 1º 05' 04"	9 (82) ≈ 1º 05' 51"
10 (81) ≈ 1º 06' 40"	11 (80) 1º 07' 30"	12 (79) ≈ 1º 08' 20"	13 (78) ≈ 1º 09' 14"	14 (77) ≈ 1º 10' 08"	15 (76) ≈ 1º 11' 02"	16 (75) 1º 12' 00"	17 (74) ≈ 1º 12' 58"	18 (73) ≈ 1º 13' 59"
19 (72) 1º 15' 00"	20 (71) ≈ 1º 16' 05"	21 (70) ≈ 1º 17' 10"	22 (69) ≈ 1º 18' 14"	23 (68) ≈ 1º 19' 16"	24 (67) ≈ 1º 20' 35"	25 (66) ≈ 1º 21' 50"	26 (65) ≈ 1º 23' 06"	27 (64) ≈ 1º 24' 22"
28 (63) ≈ 1º 25' 44"	29 (62) ≈ 1º 27' 07"	30 (61) ≈ 1º 28' 30"	31 (60) 1º 30' 00"	32 (59) ≈ 1º 31' 30"	33 (58) ≈ 1º 33' 07"	34 (57) ≈ 1º 34' 44"	35 (56) ≈ 1º 36' 25"	36 (55) ≈ 1º 38' 10"
37 (54) ≈ 1º 40' 01"	38 (53) ≈ 1º 41' 53"	39 (52) ≈ 1º 43' 52"	40 (51) ≈ 1º 45' 54"	41 (50) 1º 48' 00"	42 (49) ≈ 1º 50' 12"	43 (48) 1º 52' 30"	44 (47) ≈ 1º 54' 54"	45 (46) ≈ 1º 57' 25"

Posiciones equivalentes

Más información → Posiciones equivalentes

Sección de un nonio de sólo cuatro escalas -azul- y muy pocas posiciones -puntos negros-. Las flechas señalan dos posiciones equivalentes.

Algunos ángulos cuentan con más de una posición. Son 850 en total, que corresponden a 275 ángulos distintos. Como casos extremos:

Ángulos con 2 marcas: 174
Ángulos con 23 marcas: uno, el de 45º
Ángulos con 45 marcas: uno, el de 90º -sin incluir el de 0º-

De esta forma, el total de marcas de distinta magnitud angular no es 3.060 sino 2.485, de lo que resultaría una apreciación media de 2' 10" de arco por posición.

En la TABLA II se recogen unas pocas marcas de este tipo.

Distribución de las posiciones

De la distribución regular de las marcas en sus respectivas escalas no se sigue lo propio al proyectarlas sobre un arco. Como se muestra en la figura, el ángulo AB resulta dividido de forma irregular -círculos verdes-, a pesar de que las marcas están uniformemente distribuidas en sus escalas.

Esto se comprueba de forma pormenorizada recorriendo las tablas de posiciones dónde se anotan en la columna incremento las diferencias angulares entre dos marcas consecutivas. Como ejemplo, los registros 1 y 2 están separados por 00' 40" de arco, mientras que entre el 27 y 28 la diferencia es exactamente el doble, 01' 20". Etcétera.

Por otra parte, a igual intervalo angular no corresponde necesariamente igual número de posiciones. Por ejemplo, en [21º - 22º] tenemos 37 marcas que se corresponden con treinta y una lecturas distintas. Otros intervalos contienen menos posiciones.

TABLA II
Posiciones entre 21º y 22º
**Negrita**: escala. *Entre paréntesis*: marca o posición
1(21) - 31(14) 21º 00'	14(18) 21º 2'	64(11) 21º 4'	27(15) 21º 6'	10(19) 21º 7'	6(20) - 23(16) - 40(12) 21º 11'	2(21) 21º 14'	36(13) 21º 16'
19(17) 21º 15'	15(18) 21º 19'	32(14) 21º 21'	11(19) 21º 23'	7(20) - 28(15) 21º 26'	3(21) 21º 29'	24(16) 21º 30'	45(11) 21º 31'
20(17) 21º 33'	16(18) - 40(12) 21º 36'	12(19) 21º 39'	37(13) 21º 40'	8(20) 21º 41'	4(21) - 33(14) 21º 43'	29(15) 21º 46'	25(16) 21º 49'
21(17) 21º 51'	22(16) 21º 52'	17(18) 21º 54'	13(19) 21º 55'	9(20) 21º 57'	5(21) 21º 59'	1(22) 22º 00'	*

Como se ve, algunas marcas son de la misma magnitud:

21º 00' → posiciones 21ª y 14ª de las escalas 1 y 31
21º 11' → posiciones 20ª, 16ª y 12ª de las escalas 6, 23 y 40
21º 26' → Posiciones 20ª y 15ª de las escalas 7 y 28
21º 36' → posiciones 18ª y 12ª de las escalas 16 y 40
21º 43' → posiciones 21ª y 14ª de las escalas 4 y 33

Espacios vacíos

Más información → Espacios vacíos

Se considera espacio vacío al ángulo sin ninguna marca.

El caso más destacado es el de de 0º a 1º que no cuenta con ninguna posición.

Referencias

Notas

↑ Vernier sirvió en su juventud como capitán del ejército español de Carlos I.
↑ No será hasta el siglo XVIII cuándo la navegación oceánica comienza a ser segura gracias a los cronómetros de John Harrison que permitieron determinar la longitud -el meridiano- de la posición de un navío. Mientras que para la latitud eran suficientes el astrolabio, primero, y el sextante, después, la longitud requería conocer la hora del puerto de partida.
↑ Con posterioridad a Levi ben Gerson se atribuyó esta escala al matemático y astrónomo inglés Thomas Digges (1546-1595), quién se refiere a ella en su obra A Perfit Description of the Celestiall Orbes (1576) -Una descripción perfecta de los Orbes Celestiales-. Probablemente Digges tampoco conocía el manuscrito de Levi.
↑ El báculo de Jacob, ballestilla, o báculo mensorio, mide indirectamente alturas o acimutes, por la tangente del ángulo mitad, a diferencia del astrolabio, que los mide directamente. Por otra parte, la invención del astrolabio es muy anterior a la de la ballestilla: alrededor del 150 adC por Hiparco de Nicea, para algunos.
↑ El astrolabio y la ballestilla reales permitían apreciaciones próximas al medio grado, es decir unos 30 minutos de arco, de 50 a 55 kilómetros medidos sobre el ecuador o el meridiano, lo que, tratándose de una travesía oceánica podía suponer desviaciones de centenares de kilómetros.
↑ Un instrumento muy apropiado para las observaciones de los astros, y con el que se pueden determinar rigurosamente sus respectivas alturas
↑ Observatorio Astronómico de Lisboa. Crepúsculos e outras Questões Astronómicas em Pedro Nunes (en portugués)