La Enciclopedia Libre Universal en Español dispone de una lista de distribución pública, enciclo@listas.us.es

Número racional

De la Enciclopedia Libre Universal en Español
Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.
(Redirigido desde Números racionales.)
Saltar a: navegación, buscar
El número racional como clase de equivalencia en el conjunto de números fraccionarios

Número racional es cada una de las clases de fracciones equivalentes que resultan de una partición del conjunto de números fraccionarios. La fracción más sencilla de cada clase -fracción irreducible- es el representante canónico de esa clase o número racional.

De forma más sencilla, número racional es aquel número que puede ser expresado por el cociente de dos números enteros, con el divisor distinto de 0. Esta definición, sin embargo, no abarca cabalmente la naturaleza de estos números: un número racional es el conjunto de infinitas fracciones equivalentes entre sí.

El conjunto de los racionales se nota , por "quotient", o sea "cociente" en varios idiomas europeos. Este conjunto de números es superconjunto de los números enteros, de los números decimales, y es un subconjunto de los números reales.


Propiedades

Propiedad de la densidad

Los números racionales cumplen la propiedad de la densidad, esto es, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre los dos en la recta real ().

Además, es denso en , o sea que entre dos reales distintos, siempre cabe un racional.

Cardinalidad

Se pueden demostrar que el cardinal de los números racionales es el mismo que el de los enteros - existe una biyección entre ambos conjuntos - lo que significa que no hay más racionales que enteros.

Desarrollo decimal

Los racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal (o en cualquier base) periódico, es decir que la sucesión de sus cifras decimales se repiten de manera regular.

Ejemplos:

Desarrollo decimal periódico.png

En efecto, al dividir un entero por otro, (por ejemplo 1 por 7) sólo existen un número finito de restos posibles (aquí 0, 1, 2, 3, 4, 5 o 6). Siendo la sucesión de restos infinita, aparecerá forzosamente un mismo resto en dos posiciones distintas. A partir de ellas, el cálculo se repite igual.

En negrita están indicadas las primeras posiciones donde los restos son iguales.

Recíprocamente, todo número con un desarrollo decimal periódico corresponde a un racional.
Ejemplo: Sea a = 12,345 67 67 67 67 67 ...

Se repiten dos cifras; multipliquemos a por 102 = 100.

100a = 1234, 567 67 67 67 67 ...
a = 12, 345 67 67 67 67 ...

Al sustraer, se va toda la parte periódica:

100a - a = 1222,22    luego .

Referencias

Artículos relacionados


Notas



Conjuntos de números:
Números naturales - Números enteros - Números racionales - Números irracionales - Números reales - Números complejos