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Números coprimos

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Definición

Dos números enteros son coprimos o primos entre sí si su máximo común divisor (mcd) es 1. En tal caso los únicos divisores comunes son -1 y 1.

Esto equivale a decir que la fracción es irreductible (no se puede simplificar).

Ejemplos

  • 5 y 7 son coprimos porque son ambos primos (y distintos, desde luego).
  • 11 y 49 son coprimos porque 11 es primo y 49 no es múltiple de 11.
  • 36 y 91 son coprimos porque en la descomposición en factores primos de cada uno, no aparece ningún factor común: 36 = 22×32 y 91 = 7×13.
  • 234 y 658 no son coprimos porque son ambos pares, y por lo tanto 2 es un divisor común mayor que 1.

Casos muy particulares:

  • -1 y 1 son primos con todos los enteros.
  • 0 es primo sólo con -1 y 1.
  • n y n + 1 siempre son coprimos.

Propiedades elementales

Si a y b son coprimos entonces su mínimo común múltiplo (mcm) es el producto a·b, que es también el menor denominador común de las fracciones irreductible con denominador a y b.

Por ejemplo:

Esto es consecuencia de la relación entre el mcm m y el mcd d: m·d = a·b.

Si a y b son coprimos, entonces lo serán también a y a + b, a y a - b y más generalmente a con a + k·b, con k ∈Z.
En particular a será coprimo con r, el resto de la división euclidiana de a por b. Este hecho, funamental, es la base del algoritmo de Euclides, el método más rápido de hallar el máximo común divisor y por lo tanto de saber si dos enteros son o no coprimos.

Si se escogen al azar, la probabilidad de que sí lo sean es de .


Interpretación geométrica

La "coprimalidad" tiene una interpretación geométrica sencilla: Al trazar el segmento entre (0,0) y (a,b) en un sistema de coordeanadas, no se pasa por ningun punto "entero", es decir con ambas coordenadas enteras.

Números coprimos gráfico.png

Explicación: Si un punto entero C(a2,b2) pertenece al segmento ]OB[, entonces las pendientes de (OB) y (OC) serán iguales, es decir:

lo que significa que se puede simplificar (pues a2 < a y b2 < b) lo que equivale a decir que a y b no son coprimos.

Los puntos en rojo del primer gráfico no están en la recta pues 5 y 8 son coprimos, mientrás que los del segundo sí lo son, y tenemos:

Interpretación en la teoría de conjuntos

Sean aZ y bZ los conjuntos de los múltiplos de a y b. aZ = { ...-3a, -2a, -a, 0, a, 2a, 3a ... } y lo mismo para bZ.
Entonces:

a y b son coprimos si y sólo si aZ + bZ = Z.


Este teorema es consecuencia directa de la identidad de Bézout:

a y b son coprimos si y sólo si existen dos enteros u y v tales que a·u + b·v = 1.

En efecto, si se puede obtener 1 por combinación lineal de a y b, también se podrá obtener cualquier entero n, multiplicando por n los coeficientes u y v: a·u + b·v = 1 da a·nu + b·nv = n.

En los anillos cíclicos, bases del cálculo modular, a y b son coprimos cuando uno es inversible en el anillo del otro: a en Zb y b en Za. Esto permite simplificar equivalencias del tipo bxby (mod a) en xy (mod a).

Otra consecuencia de la identidad de Bézout es le teorema de Gauss:

Si a y b son primos entre sí y a divide a un producto bc, entonces a divide a c
Formalmente:

Generalizaciones

La interpretación con los conjuntos permiten generalizar la noción a más de dos números:

a,b y c son coprimos (considerados conjuntamente) si aZ + bZ + cZ = Z.

Ejemplo: 6Z + 10Z + 15Z = Z. Una relación de Bézout es 1·6 + 1·10 + (-1)·15 = 1.
Sin embargo estos tres números no son dos a dos coprimos: mcd(6; 10) = 2; mcd(10,15) = 3 y mcd(10,15) = 5.

Otra generalización, más ambiciosa, prescinde de los números y sólo se apoya en los conjuntos: Como los aZ son ideales del anillo conmutativo Z, se decide lo siguiente:
Dos ideales I y J de un anillo conmutativo A son coprimos si I + J = A. En este caso, I·J = IJ.

Otra propiedad: Para todo ideal K tal que J·K c I, entonces K c I (corresponde al teorema de Gauss: Si I, J y K son generados por i, j, k, la relación precedente se escribe: i|jk => i|k ).


Autor: M.Romero Schmidtke