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Un número primo de Fermat (nombrado en honor a Pierre de Fermat, quien fue el primero que estudió estos números) es un número primo de la forma:

F_n = 2²ⁿ + 1

donde n es un número natural. Sólo se conocen cinco primos de Fermat, que son 3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) y 65537 (n=4).

Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma

F_n = 2²ⁿ + 1

con n natural eran números primos, pero Leonhard Euler probó que no era así en 1732. En efecto, al tomar n=5 se obtiene un número compuesto:

F₅ = 2²⁵ + 1 = 2³² + 1 = 4294967297 = 641 · 6700417

Con ello, todos los números que tienen la forma de los primos de Fermat, aunque no sean primos, reciben el nombre de números de Fermat. Son números de Fermat todos los de la forma 2²ⁿ+1, con n natural.

Existen dos problemas abiertos sobre estos números:

1. ¿Sólo hay cinco números primos de Fermat (3, 5, 17, 257 y 65537)?
2. ¿Existen infinitos primos de Fermat?

[escribe] Propiedades de los números de Fermat

Un número de Fermat es igual al producto de todos los anteriores más 2. Esto se puede demostrar por inducción como sigue:

• Si n=1, es verdad: F₁ = F₀ + 2 (5 = 3 + 2).
• Si se cumple para todo k menor que n-1, se cumple para n: F₀·F₁·...·F_n-2·F_n-1 = (F_n-1 + 2) · F_n-1 = (2^2n-1 - 1 + 2)·(2^2n-1 - 1) = (2^2n-1 + 1)(2^2n-1 - 1) = (2^2n-1)² - 1 = 2^{2 · 2n-1}-1 = 2²ⁿ-1 = F_n , con lo que queda demostrado.

Dos números de Fermat distintos siempre son primos entre sí (es decir, no tienen ningún factor común). Se sabe que F_n = F₀·F₁·...·F_n-1 + 2. F_n, por tanto, no es divisible por ninguno de los factores de los anteriores números de Fermat.

Carl Friedrich Gauss demostró que existe una relación entre la construcción de polígonos regulares con regla y compás y los números primos de Fermat: un polígono regular de n lados puede ser construido con regla y compás si y sólo si n es, o bien una potencia de 2, o bien el producto de una potencia de 2 y primos de Fermat distintos entre sí.

[escribe] Referencias

Notas

Otras fuentes de información

• Generalized Fermat Prime search
• http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Fermats
• http://www.prothsearch.net/fermat.html (Factorización de los números de Fermat)